[32001] INTRODUCCIÓN A LA LITERATURA
[32002] La mayor parte de los modelos de crecimiento que se encuentran en la literatura económica tienen una estructura de equilibrio general.
[32003] Las familias poseen los activos y los factores de producción de la economía.
[32004] También eligen la parte de la renta que dedicarán al consumo y la parte que dedicarán al ahorro.
[32005] Las empresas, por su parte, alquilan el uso de los diferentes factores de producción para obtener el producto final que venden, a su vez, a los consumidores.
[32006] Por último, se postula la existencia de un conjunto de mercados competitivos en los cuales las familias venden sus factores productivos a las empresas y éstas venden su producción a las familias.
[32007] En el capítulo inicial, no obstante, vamos a apartarnos de este esquema y nos plantearemos, en cambio, un modelo en el que no aparecen ni los mercados ni las empresas.
[32008] Una forma de interpretar este modelo es considerar que la economía está poblada por familias-productoras.
[32009] Estas familias, que poseen tanto los factores de producción como la tecnología que permite transformarlos en producto final, deben elegir la parte de la producción que consumen y la parte que invierten en el proceso productivo.
[32011] El único activo de esta economía (cerrada) es algo a lo que llamaremos xxx.
[32012] En principio podríamos pensar en xxx como si de capital físico se tratara.
[32013] En general, sin embargo, xxx también puede incluir otros factores de producción susceptibles de ser acumulados, tales como el conocimiento intelectual o las habilidades manuales de las personas.
[32014] El otro factor de producción de la economía, xxx, no puede ser acumulado, aunque aumenta a una tasa determinada, que se supone que es independiente de las decisiones individuales.
[32015] Podríamos pensar en este factor no acumulable como si fuera trabajo, aunque también puede incluir otros recursos no reproducibles como, por ejemplo, la tierra o la energía.
[32016] Por último, se supone que la tecnología disponible es capaz de transformar estos dos factores en producción final a través de la siguiente función: xxx en la que por xxx entendemos la producción agregada.
[32017] Para simplificar el modelo, vamos a considerar que el producto consiste en un bien homogéneo que puede destinarse indistintamente al consumo o al ahorro.
[32018] La razón que mueve a las familias a ahorrar es que el producto no consumido puede transformarse en capital a través de un proceso al que llamaremos inversión.
[32019] Si denominamos xxx a la parte de la renta que es ahorrada, el aumento en el stock de capital que se puede conseguir a través de este proceso viene dado por: xxx siendo xxx la derivada del capital con respecto al tiempo (a lo largo de todo el texto, un puntito encima de una variable representará la derivada de la variable con respecto al tiempo), y 6, la tasa de depreciación, que se supone constante.
[32021] En la mayor parte de la literatura reciente sobre el crecimiento económico, se supone que las familias eligen su trayectoria de consumo mediante la maximización de una función de utilidad sujeta a algún tipo de restricción presupuestaria intertemporal.
[32022] En el capítulo 3 se demostrará que la tasa óptima de ahorro xxx es una compleja función para la cual no existen, en general, fórmulas explícitas.
[32023] Los intrincados mecanismos de la optimización dinámica, aun siendo imprescindibles, oscurecen algunas cuestiones y argumentaciones importantes.
[32024] Es por ello que, antes de iniciar el estudio de los modelos de ahorro óptimo, es conveniente seguir a Solow (1956) y Swan (1956) e introducir el supuesto de que la tasa de ahorro, xxx, es una constante determinada exógenamente, a la que denotaremos simplemente por xxx.
[32025] Consideraremos, adicionalmente, que la función de producción es del tipo Cobb-Douglas: xxx siendo xxx el nivel de la tecnología.
[32026] Desde una perspectiva macroeconómica, debemos pensar en la tecnología en un sentido amplio, que incluye las distorsiones introducidas por la actividad del Estado, el sistema de protección de los derechos de propiedad, y otros elementos de índole semejante.
[32027] En otras palabras, es posible que ocurra que una economía 1, pese a utilizar las mismas cantidades de xxx y xxx que una economía 2, obtenga una producción superior a ésta, debido a que existen en ella menos distorsiones, su estado es más eficiente o sus instituciones favorecen la producción privada de forma más efectiva.
[32028] El parámetro "tecnológico" xxx recoge, en consecuencia, todos estos elementos que, aun no siendo tecnológicos en un sentido microeconómico de la palabra, si que afectan a la tecnología en el sentido macroeconómico.
[32029] Si utilizamos, como hemos dicho, una función de producción Cobb-Douglas y suponemos que la tasa de ahorro es constante, el aumento del capital se puede escribir como xxx donde hemos omitido los subíndices relativos al tiempo (continuaremos sin hacerlos explícitos en tanto en cuanto esto no introduzca ningún tipo de ambigüedad).
[32031] Supondremos, además, que la población crece a una tasa constante determinada exógenamente, xxx.
[32032] Definamos xxx minúscula como la relación capital-trabajo (o el capital por trabajador), xxx.
[32033] Derivando respecto del tiempo xxx, se puede reescribir (1.4) en términos per cápita como
[32034] xxx.
[32035] La tasa de crecimiento del capital por trabajador viene dada por xxx.
[32036] Podemos calcular el valor de esta tasa de crecimiento dividiendo los dos miembros de (1.5) por xxx.
[32037] Definamos el estado estacionario como aquella situación en la cual todas las variables crecen a una tasa constante (que posiblemente valga cero).
[32038] La tasa de crecimiento en el estado estacionario xxx en (1.5) es constante 
[32039] por definición.
[32041] Si tomamos logaritmos y derivamos respecto del tiempo obtenemos la siguiente relación: xxx.
[32042] Esta expresión es una ecuación clave que requiere un cierto detenimiento.
[32043] Consideremos, en primer lugar, la función de producción neoclásica, por la cual la producción presenta rendimientos constantes de escala (RCE) y rendimientos decrecientes, aunque positivos, de cada uno de los factores.
[32044] Estos dos supuestos implican, respectivamente, que a xxx y xxx.
[32045] Dado que xxx, el segundo término de la expresión de la derecha de (1.6) desaparece y la expresión se reduce a: xxx.
[32046] El supuesto de los rendimientos decrecientes del capital, xxx, conlleva que la única tasa de crecimiento sostenible es xxx.
[32047] En otras palabras, la única tasa de crecimiento consistente con el modelo neoclásico es cero .
[32048] Este resultado nos lleva a una cuestión interesante.
[32049] Si la única tasa de crecimiento factible es cero, ¿cómo explicaron los teóricos neoclásicos de las décadas de 1950 y 1960 el hecho de que la mayor parte de los países industrializados experimentasen a lo largo de siglos tasas de crecimiento positivas?
[32051] Para hacer explícita esta idea, supusieron que el término A de (1.3) podía crecer a una tasa exógena, xxx (es decir, xxx).
[32052] Cuando la tecnología crece a una tasa constante, el resto de las variables crecen a esa misma tasa; de este modo, en el modelo neoclásico con un crecimiento exógeno de la productividad , las tasas de crecimiento de la renta per cápita, el capitalper cápita y el consumo per cápita en el estado estacionario son todas igual a xxx.
[32053] Una segunda forma de leer la ecuación (1.6) es la siguiente:
[32054] "Si se desean obtener tasas de crecimiento positivas xxx en un modelo que presenta rendimientos constantes de escala xxx, la función de producción debe presentar rendimientos constantes de escala respecto del factor que puede ser acumulado xxx.
[32055] Esto conlleva necesariamente que xxx, caso en el que la función de producción adopta la forma xxx donde xxx es constante.
[32056] Esta tecnología, conocida como la "tecnología AK", proporciona el modelo de crecimiento endógeno más simple que pueda concebirse.
[32057] Una de las diferencias fundamentales entre los modelos de crecimiento endógeno y los modelos neoclásicos de crecimiento reside en que la tasa de crecimiento en el estado estacionario xxx de los primeros puede ser positiva incluso cuando no se postula que ninguna variable crezca a una tasa exógena  (como es el caso de la tecnología en el modelo neoclásico).
[32058] La tasa de crecimiento del estado estacionario depende de algunas decisiones que toman los individuos, es decir, de variables endógenas  tales como la tasa de ahorro, en lugar de depender de que una variable del modelo crezca de manera exógena.
[32059] Éste es el motivo por el que son denominados modelos de crecimiento endógeno .
[32061] Estudiaremos este modelo en el capítulo 5.
[32062] Existen varias formas de introducir la tecnología A.
[32063] La más obvia es tomar la ecuación (1.1) y considerar el trabajo como un tipo de capital.
[32064] Podemos pensar que lo que importa realmente para la producción no es el número de personas (trabajo en bruto), sino la cantidad de trabajo corregido por la calidad.
[32065] La calidad, a su vez, puede ser acumulada a través de la inversión en educación o salud, de modo parecido a como puede hacerse con el capital físico.
[32066] Esto nos lleva directamente al concepto de capital humano.
[32067] Si las funciones de producción del capital físico y el humano son similares, es lícito englobar a ambas en una medida amplia del capital para obtener una función de producción del todo análoga a la AK.
[32068] Esta idea, que subyace en el trabajo de Rebelo (1991), será derivada de manera formal en el capítulo 5.
[32069] Otra manera de introducir la tecnología AK se basa en considerar que, junto con el capital privado, existen factores cuya provisión corre a cargo del sector público (como, por ejemplo, carreteras, infraestructuras y el sistema legal de un país).
[32071] Si el Estado aumenta la oferta de bienes públicos en la misma proporción en que aumenta la oferta de capital privado (quizás debido a que el aumento del capital privado genera un aumento en la recaudación tributaria, que financia esos bienes públicos), el modelo se asemeja en todo a la tecnología AK (véase Barro (1990)).
[32072] En el capítulo 6 se examinará el modelo de Barro con mayor detalle.
[32073] La ecuación (1.6) permite aún una tercera lectura: 
[32074] "Si eliminamos el crecimiento de la población, xxx, es posible contar simultáneamente con factores de producción no reproducibles a xxx, y con un crecimiento positivo en el estado estacionario xxx, siempre que existan rendimientos constantes de escala de los factores que pueden ser acumulados xxx.
[32075] No hay que perder de vista que esto significa que xxx, es decir, la existencia de rendimientos crecientes de escala".
[32076] El problema que surge en este caso es que, si se postula directamente la existencia de una función de producción con rendimientos crecientes de escala, podemos encontrar dificultades en hallar un conjunto de precios que soporten un equilibrio competitivo.
[32077] Es más, las técnicas usuales de optimización no pueden emplearse, ya que no se verifican los supuestos habituales de concavidad para que las condiciones de primer orden sean, asimismo, suficientes.
[32078] Existen como mínimo dos formas para, si no eliminar, sí aparcar este problema.
[32079] La primera fue introducida por Alfred Marshall y consiste en suponer que existen rendimientos crecientes de escala a nivel agregado, pero rendimientos constantes para cada empresa individual.
[32081] De este modo, todos los productores se enfrentan a un problema en el que su función de producción es cóncava y se pueden aplicar los instrumentos habituales de optimización.
[32082] Sin embargo, la economía en su conjunto se enfrenta a una función de producción con rendimientos crecientes de escala que (bajo algunas condiciones que apuntaremos más adelante) promueven un crecimiento endógeno.
[32083] En este modelo, la función de producción Cobb-Douglas es del tipo xxx siendo xxx el capital privado y xxx el stock de capital agregado de la economía.
[32084] Las empresas individuales no se percatan de que sus decisiones de inversión afectan a xxx y, por ello, lo toman como dado.
[32085] En el conjunto de la economía, sin embargo, el capital total es igual a la suma de los stocks de capital de las empresas individuales; en consecuencia xxx.
[32086] Esto implica que, en realidad, la producción agregada viene dada por xxx.
[32087] Es de destacar que la condición (1.6) requiere que el tamaño de la externalidad sea tal que xxx, con lo que tenemos rendimientos constantes del capital  en un mundo en el que existen rendimientos crecientes de escala.
[32088] De este modo, al modelizar los rendimientos crecientes de escala mediante externalidades, aparcamos el problema de la existencia de un equilibrio general competitivo.
[32089] El único problema es que los modelos de equilibrio general con externalidades, como es bien sabido, tienden a generar soluciones subóptimas que requieren la intervención del Estado en la economía.
[32091] Una segunda forma de evitar el problema de la inexistencia de equilibrio competitivo consiste en eliminar el supuesto de comportamiento competitivo.
[32092] Esto es lo que se denomina, en algunas ocasiones, el enfoque de Chamberlin.
[32093] Este planteamiento es interesante, entre otras cosas porque, bajo condiciones de competencia imperfecta, la retribución de todos los factores de producción no agota el producto total.
[32094] En consecuencia, existen rentas que pueden ser asignadas a actividades como la investigación y el desarrollo (I+D), las cuales no son directamente productivas, pero que pueden contribuir a expandir las fronteras del conocimiento (y no hay que olvidar que los conocimientos existentes en la economía benefician a todas las empresas).
[32095] No es sorprendente, por tanto, que este planteamiento haya sido empleado en muchos trabajos por los economistas que creen que las actividades de I+D son una fuente importante de crecimiento económico.
[32096] En el capítulo 9, analizaremos un modelo de crecimiento con actividades de I+D basado en Romer (1987,1990) y Grossman y Helpman (1991, capítulo 3), en el cual las empresas invierten en actividades de I+D para obtener nuevos bienes de capital.
[32097] En este modelo, la introducción de estas nuevas variedades de capital no está sujeta a la ley de rendimientos decrecientes, por lo que los incentivos para emprender actividades de I+D nunca desaparecen.
[32098] Esta circunstancia permite que el crecimiento de la economía se mantenga permanentemente.
[32099] Antes de empezar a estudiar el funcionamiento de estos modelos, es conveniente introducir un instrumento gráfico que será útil de cara a clarificar las diferencias básicas que existen entre los modelos de crecimiento exógeno y los de crecimiento endógeno.
[32101] Este supuesto conlleva el hecho de que la tasa de depreciación sea independiente de las condiciones de la economía.
[32102] Sería más realista considerar que las empresas pueden determinar la intensidad a la que emplean su capital, y que, por este motivo, cuando el capital es usado de forma más intensiva, se deprecia a un ritmo superior.
[32103] En el mundo real, por lo tanto, 6 depende de las condiciones económicas.
[32104] La literatura del crecimiento, sin embargo, ha ignorado la facultad de las empresas de elegir la utilización del capital.
[32105] Por este motivo, en este libro se tomará la tasa de depreciación 6 como una constante exógena dada.
[32106] A pesar de esto, y como se podrá constatar más adelante, la tasa de depreciación es un determinante importante de la tasa de crecimiento de la economía, por lo que su endogeneización puede ser un área de investigación potencialmente productiva. 
[32107] De forma más general, en una economía abierta, la diferencia entre el ahorro y la inversión es igual al saldo de la balanza por cuenta corriente. 
[32108] Los primeros economistas confinaron la optimización intertemporal a cuestiones de tipo normativo.
[32109] En este sentido es ilustrativa la siguiente frase, que encabeza el famoso articulo de Ramsey (1928):
[32111] ¿Qué porcentaje de la renta debería ahorrar una nación? " (pág. 543).
[32112] Los economistas actuales, por otra parte, emplean los modelos de optimización intertemporal tanto para análisis de tipo normativo como para los de naturaleza positiva.
[32113] A partir de Barro (1974), se supone que el agente representativo es una familia o un grupo de individuos vinculados unos con otros a través del altruismo y legado de herencias. 
[32114] En el capítulo 3 demostraremos que una tasa constante de ahorro es óptima bajo ciertas condiciones. 
[32115] En el mundo real, la gente elige el número de hijos que desea tener y su disponibilidad a emigrar.
[32116] Por ejemplo, si la "producción" de hijos requiere que los padres dediquen tiempo a estar con ellos, unos salarios elevados tenderán a desalentar la reproducción.
[32117] De forma similar, la previsión de unos salarios altos en el futuro aumentará las tasas de fertilidad en el futuro, puesto que los niños del presente serán los adultos que ganarán estos mayores salarios.
[32118] Mayores salarios futuros, por lo tanto, representan un mayor rendimiento de la inversión en niños.
[32119] El tipo de interés también afecta a las tasas de fertilidad si la utilidad marginal de los hijos para los padres es decreciente.
[32121] Por otra parte, los salarios y los tipos de interés también deberían afectar a las tasas de mortalidad, mediante su influencia en la cantidad de tiempo que la gente dedica a trabajar en lugar de dedicarlo a su cuidado personal clases de aerobic o al de sus hijos.
[32122] En resumen, la tasa de crecimiento de la población no debería ser exógena respecto a la situación económica de las personas.
[32123] En cuanto a la emigración, la existencia de unos salarios altos en un país tiende a atraer a éste inmigrantes.
[32124] Por ello, las condiciones económicas (como los salarios, las tasas de interés y otros elementos de un tenor parecido) deberían, en principio, afectar a la tasa de crecimiento de la población.
[32125] Sin embargo, en lo que sigue, simplificaremos el análisis abstrayéndonos de estas cuestiones tan importantes e interesantes, pero todavía no bien comprendidas y que deberían ser objeto de futuras investigaciones (véase Barro y Sala-i-Martin (1994), capítulo 9, donde se recogen ejemplos de modelos de crecimiento en los que la emigración y la fertilidad son variables endógenas.
[32126] Braun  (1993) examina también modelos de migración y crecimiento.
[32127] Véase también Dolado, Goria e Ichino (1993).
[32128] Por otra parte, no tenemos noticia de la existencia de modelos de crecimiento en los que se incorpore una tasa de mortalidad endógena). 
[32129] Es de destacar que la única diferencia entre expresar la ecuación de acumulación en valores absolutos o en términos per cápita consiste en la adición del término xxx a xxx.
[32131] Por ejemplo, en el hipotético caso de que los individuos no ahorraran nada (s = O), el capital per cápita disminuiría por dos razones radicalmente diferentes: debido a que el capital va disminuyendo (depreciación) y al aumento en el número de "cápitas" (crecimiento de población).
[32132] A partir de ahora, denotaremos los valores de las diferentes variables en el estado estacionario mediante asteriscos.
[32133] El aumento de la productividad en el modelo neoclásico ha de ser necesariamente exógeno debido a que en un mundo en el que los mercados son competitivos y las tecnologías de RCE, la retribución de todos los factores (dada por sus productos marginales) agota el valor del producto final.
[32134] Puesto que la tecnología es un bien público (en el sentido de que se trata de un bien no rival y no excluible), no quedan recursos para financiar actividades tales como la investigación y el desarrollo.
[32135] La exogeneidad de xxx no debe entenderse en un sentido literal: al decir que z es exógeno no se sugiere que si los individuos de la economía se van a la playa durante treinta años, cuando vuelvan la tecnología habrá mejorado de modo substancial.
[32136] Lo que se quiere decir es que los mecanismos determinantes del progreso tecnológico no son explicados por el propio modelo.
[32137] 0bsérvese que, en el caso de que la tasa de crecimiento de la población sea positiva,xxx, no existe ninguna tasa de crecimiento en el estado estacionario xxx que cumpla la ecuación fundamental (1.6).
[32138] Lo que sucede en este caso es que la tasa de crecimiento no es nunca constante, sino que aumenta constantemente en el tiempo.
[32139] El fenómeno que relaciona el tamaño o la escala del país con su tasa de crecimiento es conocido como elefecto de escala  y es el principal motivo por el cual los modelos de crecimiento endógeno con rendimientos crecientes de escala excluyen siempre el crecimiento de la población.
[32141] Es frecuente oír decir a los asesores económicos del Tercer Mundo que una de las condiciones necesarias para el crecimiento económico y el desarrollo reside en conseguir un aumento de la tasa nacional de ahorro.
[32142] El mecanismo al que se está aludiendo se fundamenta en que un mayor ahorro generará una mayor inversión (puesto que, en una economía cerrada, ambos deben ser iguales), y esta mayor inversión promoverá un mayor crecimiento económico.
[32143] En este capítulo, se analizarán las condiciones bajo las cuales esta recomendación de política económica es válida.
[32144] Para realizar este análisis continuaremos suponiendo que la tasa de ahorro es constante.
[32145] Crecimiento neoclásico: el modelo de Solow y Swan 
[32146] Para empezar, vamos a suponer que contamos con una función de producción neoclásica, es decir, que presenta rendimientos constantes de escala, xxx, y rendimientos decrecientes de cada uno de los factores, xxx .
[32147] El capital per cápita se acumula según la expresión (1.5).
[32148] Si dividimos los dos términos de (1.5) por xxx obtenemos la siguiente expresión: xxx.
[32149] Figura 2.1 
[32151] En el miembro de la izquierda de esta ecuación se recoge la tasa instantánea de crecimiento del capital per cápita.
[32152] En el miembro de la derecha se nos indica que esta tasa de crecimiento viene dada por la diferencia entre dos funciones: xxx.
[32153] Se han representado estas dos funciones en el gráfico 2.1.
[32154] La función xxx, a la que llamaremos curva de depreciación  es independiente de xxx, por lo que está representada por una línea recta horizontal.
[32155] Por su parte, el supuesto, xxx implica que la función xxx, a la que llamaremos curva de ahorro , es decreciente, que tiende a infinito cuando xxx se acerca a cero, y que se aproxima a cero cuando xxx tiende a infinito.
[32156] Dado que la curva de depreciación es estrictamente positiva y que la curva de ahorro toma todos los valores entre 0 y xxx, las dos curvas se cruzan al menos una vez.
[32157] Como la curva de ahorro es estrictamente decreciente, las dos curvas se cruzarán solamente una vez en el cuadrante positivo del gráfico.
[32158] El valor de xxx para el cual ambas curvas se cruzan, al que designaremos por xxx es el capital por trabajador que existe en el estado estacionario.
[32159] Acabamos de argumentar que las dos curvas se cruzan una y sólo una vez, por lo que el capital por trabajador de estado estacionario existe y es único.
[32161] Podemos emplear el gráfico 2.1 para estudiar el comportamiento de la economía a través del tiempo.
[32162] Según la ecuación (2.1), la tasa de crecimiento de xxx viene dada por la diferencia vertical entre las dos curvas.
[32163] Vemos que la tasa de crecimiento es positiva cuando xxx y negativa cuando xxx.
[32164] Además, la tasa de crecimiento es tanto mayor cuanto más por debajo está la economía del estado estacionario.
[32165] Tomemos una economía con un capital inicial xxx inferior a xxx.
[32166] La tasa de crecimiento del capital en los primeros momentos es grande,pero va disminuyendo con el paso del tiempo, al ir aproximándose la economía a su posición de estado estacionario.
[32167] Cuando este punto es alcanzado, el crecimiento se detiene.
[32168] El comportamiento de la economía es simétrico cuando el capital inicial está por encima de xxx.
[32169] Si tomamos logaritmos y derivamos la función de producción con respecto al tiempo, observaremos que la tasa de crecimiento de la producción  cápita es proporcional a la tasa de crecimiento del capital per cápita, xxx.
[32171] La razón intuitiva que explica la ausencia de crecimiento en el estado estacionario es el supuesto de que los rendimientos del capital son decrecientes y se aproximan a cero: cuando el stock de capital es bajo, cada aumento del stock de capital genera un gran aumento en la producción (esto es, la productividad marginal del capital es elevada).
[32172] Puesto que, por hipótesis, los agentes ahorran e invierten una fracción constante del producto adicional, el aumento en el stock de capital es grande.
[32173] Dado que la productividad del capital es decreciente, cada unidad adicional genera menos y menos unidades de producto a medida que xxx aumenta.
[32174] Como los agentes siguen ahorrando un porcentaje constante de la producción, los aumentos adicionales del stock de capital son cada vez más reducidos.
[32175] De hecho, se aproximarían a cero si el stock de capital fuera arbitrariamente grande.
[32176] Antes de llegar a este extremo, no obstante, la economía alcanza un punto en el que los incrementos del stock de capital cubren exactamente la sustitución del stock de capital que se ha depreciado y compensan el crecimiento de la población (a una tasa xxx).
[32177] Este aumento es, pues, exactamente suficiente para mantener el capital per cápita a un nivel constante.
[32178] Una vez que la economía alcanza esta situación, permanece en ella para siempre.
[32179] Se trata del estado estacionario.
[32181] El resultado de este experimento es que la curva de ahorro se desplaza hacia la derecha, mientras que la línea de depreciación no se ve afectada.
[32182] A partir del gráfico 2.1 podemos observar que se producirán los siguientes hechos: 
[32183] a)  la tasa de crecimiento experimenta un aumento inmediato;
[32184] b)  la tasa de crecimiento va disminuyendo con el transcurso del tiempo, hasta volver finalmente a valer cero; 
[32185] c)  el nuevo stock de capital por trabajador del estado estacionario es mayor que el anterior. 
[32186] El hecho crucial en este modelo es que, aunque un aumento permanente de la tasa de ahorro conduzca a un aumento a corto plazo en la tasa de crecimiento y a un aumento en el nivel de capital por trabajador del estado estacionario, la tasa de crecimiento del estado estacionario no se modifica.
[32187] La evolución de las variables tras un aumento permanente y exógeno de xxx (o una reducción de xxx o xxx) es muy similar en todos los casos: se produce un aumento a corto plazo de la tasa de crecimiento, pero a largo plazo únicamente los niveles de capital y producto se ven alterados.
[32188] Por cierto, en el caso de que el nivel de la tecnología, xxx, aumente continuamente a una tasa constante xxx (como sucede en los modelos neoclásicos en que el crecimiento de la productividad es exógeno), la curva de ahorro se desplaza continuamente hacia la derecha.
[32189] Es por ello que el stock de capital del estado estacionario xxx también se desplaza hacia la derecha a la misma tasa, xxx.
[32191] 2 Una medida cuantitativa de la duración de la transición 
[32192] Un aspecto importante del modelo es la rapidez con la cual la economía alcanza el nuevo estado estacionario.
[32193] Para resolver este problema podemos log-linealizar la ecuación (2.1) alrededor del estado estacionario y obtenemos 
[32194] xxx.
[32195] Vemos que la tasa de crecimiento del capital de la economía está inversamente relacionada con el nivel de capital inicial.
[32196] La velocidad de convergencia viene dada por xxx.
[32197] Para proporcionar una medida cuantitativa de esta velocidad de convergencia, hacemos notar que la tasa de crecimiento de la población de los países industrializados oscila entre el 0, 01 y 0, 02.
[32198] La tasa de depreciación se mueve, por su parte, entre el 0, 05 y el 0, 1, según como se mida el capital para usos residenciales y otros tipos de bienes duraderos.
[32199] La participación del capital físico en los países industrializados está situada entre el 0, 25 y el 0, 30.
[32201] Es decir, cada año se cubre entre el 4, 2% y el 9% de la diferencia existente entre xxx y xxx.
[32202] Esta velocidad de convergencia implica que la mitad de la distancia existente entre xxx y xxx desaparece en un período de 7, 7 y 16 años respectivamente.
[32203] La velocidad de convergencia hacia el estado estacionario es, por lo tanto, bastante grande, por lo que la transición tiene lugar en un breve espacio de tiempo.
[32204] La velocidad de convergencia que se ha determinado sería mucho menor si tomáramos en consideración una definición más amplia del capital (de modo que incluya otros elementos, como el capital humano).
[32205] A modo de ejemplo, si la participación del capital, definido de forma amplia, fuera de xxx, la velocidad de convergencia predicha se situaría entre el 0,015 y el 0,03 (lo que conlleva que la mitad del desfase se cubriría en un período de 23 a 47 años, respectivamente).
[32206] Barro y Sala-i-Martin (1991, 1992a, 1992b) y Mankiw, Romer y Weil (1992) han demostrado que estos valores de convergencia más reducidos concuerdan mejor con los datos empíricos.
[32207] En el capítulo 10 estimaremos la velocidad de convergencia en varios conjuntos de datos regionales e internacionales.
[32208] La hipótesis de convergencia 
[32209] El gráfico 2.1 indica que la tasa de crecimiento de una economía que parte de un capital inferior al del estado estacionario es elevada, aunque decreciente.
[32211] Este fenómeno se puede observar también en la ecuación (2.2), donde la tasa de crecimiento de xxx está inversamente relacionada con el nivel de xxx.
[32212] Dado que la tasa de crecimiento de la renta per cápita es proporcional a la tasa de crecimiento del capital per cápita, el modelo predice también una relación negativa entre la renta inicial y su tasa de crecimiento.
[32213] Esta relación inversa entre la renta inicial y su tasa de crecimiento es conocida como la hipótesis de convergencia.
[32214] Esta hipótesis es interesante, puesto que es susceptible de ser comprobada fácilmente empleando datos de un conjunto de países en un momento dado del tiempo, mediante la confección de un simple gráfico en el que se representen la renta de cada país y su tasa de crecimiento (véase, por ejemplo, el gráfico 10.3 en el capítulo 10).
[32215] Si la correlación observada es negativa, estas economías tenderán a converger en el tiempo.
[32216] Figura 2.2 
[32217] Convergencia en el modelo neoclásico
[32218] Hay que subrayar que el modelo neoclásico que acabamos de esbozar sólo predice la existencia de una relación negativa entre la renta y las tasas de crecimiento en el caso de que la única diferencia entre los países resida en sus stocks iniciales de capital.
[32219] Si, por el contrario, las economías también se diferencian en su nivel de tecnología, xxx, o en su tasa de ahorro, xxx, la tasa de depreciación, xxx , o la tasa de crecimiento de la población, xxx, el modelo no predice un mayor crecimiento para los países más pobres.
[32221] Supongamos, además, que la tasa de ahorro en el país pobre es inferior a la del país rico, por lo que converge a un estado estacionario inferior, xxx.
[32222] Nótese que, en este ejemplo, sucede que el país pobre crece menos que el país rico, por lo que no se produce la convergencia en un sentido absoluto; sin embargo, aún es posible hablar de convergencia condicional, en el sentido de que la tasa de crecimiento de un país está inversamente relacionada con la distancia a la que se sitúa de su estado estacionario.
[32223] En otras palabras, si un país es pobre en la actualidad pero se espera que siga siendo pobre en el largo plazo, entonces su tasa de crecimiento no será muy impresionante.
[32224] Por el contrario, si se espera que el mismo país acabe siendo muy rico, entonces su tasa de crecimiento actual será alta.
[32225] Dicho de otro modo, el modelo predice convergencia únicamente después de tener en cuenta los elementos determinantes del estado estacionario.
[32226] Esto puede apreciarse también en la ecuación (2.2), en la cual la tasa de crecimiento está negativamente relacionada con el tamaño relativo de (el logaritmo de) xxx y xxx.
[32227] En consecuencia, desde un punto de vista empírico es preciso que xxxs sea constante para poder observar la relación entre el crecimiento y el nivel de capital.
[32228] Si xxx no es constante y se omite de la regresión, entonces las estimaciones del coeficiente de xxx estarán sesgadas siempre que xxx esté correlacionado con xxx.
[32229] Barro y Sala-i-Martin (1991,1992a, 1992b) y Mankiw, Romer y Weil (1992) han encontrado un apoyo empírico para la hipótesis de convergencia condicional y, en consecuencia, para el modelo neoclásico.
[32231] Los resultados de estos estudios empíricos se analizan también en el capítulo 10 de este libro.
[32232] El modelo de Solow ampliado 
[32233] La evidencia empírica sobre la hipótesis de convergencia indica que el modelo neoclásico es consistente con las fuentes estadísticas si la participación del capital ronda en torno al 0, 75 (véase el capítulo 10).
[32234] Las estimaciones empíricas sobre la participación del capital en los países industrializados indica que está más próxima al O, 3 que al 0, 75.
[32235] Por este motivo, es preciso considerar xxx en un sentido amplio para que recoja otras formas de capital no físico.
[32236] Para incorporar esta idea, Mankiw, Romer y Weil (1992) construyeron lo que ellos bautizaron como un "modelo de Solow ampliado".
[32237] El modelo incluye tres factores de producción: capital, trabajo en el sentido convencional y capital humano (designado por H) en una tecnología Cobb-Douglas: xxx.
[32238] Mankiw, Romer y Weil supusieron, además, que tanto el capital físico como el humano se podía acumular detrayéndolo de la producción: xxx, siendo xxx y xxx las tasas de depreciación del capital físico y el humano, respectivamente.
[32239] Para simplificar las cosas, supongamos que xxx.
[32241] Podemos reescribir esta expresión de forma alternativa, xxx, lo que nos indica que, en todo momento, la cantidad de capital humano debe ser proporcional a la de capital físico.
[32242] Si se sustituye esta relación en la expresión del producto, obtenemos que xxx, siendo la participación efectiva del capital, xxx, la suma de las participaciones del capital físico y el humano, xxx, y, además, el parámetro xxx es constante.
[32243] Por esta razón, el modelo de Solow ampliado para incorporar el capital humano es únicamente una forma de argumentar que la participación del capital relevante es mayor que la participación del capital físico.
[32244] En otros términos, se trata de una forma de defender que la participación del capital relevante está más próxima a 0, 75 que a 0, 3.
[32245] Nótese que la velocidad de convergencia que se deriva de la ecuación (2.2) depende de la participación del capital en un sentido amplio, xxx, en lugar de la participación del capital físico, A, por lo que la velocidad de convergencia es igual a xxx.
[32246] Si la participación del capital físico es xxx y la participación del capital humano xxx, la tasa relevante del capital es 0,75 y la velocidad de convergencia que se desprende se sitúa entre 0,015 y 0,03.
[32247] Estos valores se aproximan mucho más a los encontrados por la literatura empírica que se analiza en el capítulo 10.
[32248] Para log- linealizar la ecuación, se debe reescribir (2.1) tomando logaritmos.
[32249] Obsérvese que xxx es la derivada respecto del tiempo de xxx.
[32251] El valor de xxx en el estado estacionario es 6 + n.
[32252] Tomando una aproximación de Taylor de primer orden de (2.1) alrededor de xxx se obtiene (2.2). 
[32253] CRECIMIENTO NEOCLÁSICO:EL MODELO DE RAMSEY
[32254] EL modelo de las familias productoras 
[32255] Hasta este momento se ha supuesto que las familias que se dedican a la producción ahorran una parte constante de su renta, sin cuestionarnos la racionalidad de este comportamiento.
[32256] En este capítulo vamos a describir la actuación de estas familias dedicadas a la producción, cuando se les permite determinar la trayectoria de su consumo de forma óptima.
[32257] EL modelo original se debe a Ramsey (1928) y fue perfeccionado posteriormente por Cass (1965) y Koopmans (1965).
[32258] En este modelo se supone que los agentes maximizan una función de utilidad de la forma xxx siendo xxx la tasa de descuento, xxx el consumo per cápita  en el momento xxx, y xxx el tamaño de la población.
[32259] La expresión (3.1) indica que la utilidad de los individuos es la suma (es decir, la integral) de sus funciones instantáneas de utilidad xxx descontadas a la tasa xxx, entre el periodo 0 e infinito.
[32261] Hay que hacer notar que el horizonte temporal relevante para el problema de optimización que hemos diseñado es infinito.
[32262] Este supuesto podría parecer muy poco razonable dado que la vida humana tiene, obviamente, un (a menudo trágico) final.
[32263] No obstante, tal como Barro (1974) demostró, este modelo se puede reinterpretar si se tiene en consideración el altruismo y las herencias intergeneracionales.
[32264] En este contexto, deberemos suponer que los agentes del modelo son dinastías o familias, siendo el número de individuos pertenecientes a cada dinastía xxx.
[32265] La tasa de descuento (que fue descrita por Ramsey (1928) como "éticamente indefendible y que debe su aparición exclusivamente a la debilidad de la imaginación",
[32266] [p.
[32267] 543] en el plano individual) representa el hecho de que los individuos, aunque altruistas con respecto de sus descendientes, prefieren el consumo propio más que el consumo de los hijos.
[32268] Es decir, el tipo de descuento representa el egoísmo paterno dentro de un mundo de altruismo intergeneracional.
[32269] Dado que xxx es el consumo per cápita, xxx representa la felicidad instantánea per cápita.
[32271] Un supuesto adicional es que la función de felicidad, xxx, adopta la siguiente expresión xxx.
[32272] El parámetro xxx mide el grado de concavidad de la función de utilidad.
[32273] Supondremos que las preferencias de los individuos son cóncavas, por lo que xxx, lo que refleja su deseo de tener unas trayectorias de consumo más o menos "lisas" o "suaves" en el tiempo (es decir, la gente prefiere consumir un poco cada día en lugar de morirse de hambre durante todo el mes y organizar una gran fiesta a final de mes).
[32274] Cuanto mayor sea el parámetro xxx, mayor es el deseo de alisar el consumo a través del tiempo.
[32275] Si xxx, la función de utilidad es lineal, de modo que los individuos no desean alisar el consumo de una forma especial.
[32276] A medida que a se aproxima a 1, la función de utilidad se transforma en una función de tipo logarítmico.
[32277] Vamos a considerar el caso de una economía cerrada en la que sólo existe un único bien, de tal forma que la producción final se puede dedicar tanto al consumo como a la inversión.
[32278] El capital se deprecia a una tasa constante xxx y la población crece a una tasa n.
[32279] La restricción presupuestaria a la que se enfrentan las familias dedicadas a la producción es similar a (1.2).
[32281] Supondremos, adicionalmente, la existencia de una función de producción neoclásica, en el sentido de que satisface las siguientes tres propiedades: 
[32282] 1)  La función de producción tiene rendimientos constantes de escala [por lo que xxx es una función homogénea de grado uno: xxx. 
[32283] 2)  La productividad marginal de todos los factores de producción es positiva, pero decreciente [es decir xxx]. 
[32284] 3) xxx satisface las condiciones de llamada.
[32285] Éstas requieren que la productividad marginal del capital se aproxime a cero cuando el capital tiende a infinito y tienda a infinito cuando el capital se aproxima a cero.
[32286] Condiciones análogas se aplican al trabajo.
[32287] Obsérvese que el argumento de la función de utilidad es el consumo per cápita (c minúscula), mientras que en la restricción presupuestaria entra el consumo agregado.
[32288] Para corregir esta discrepancia, podemos dividir los dos miembros de (3.2) por el trabajo y, tras aplicar el supuesto de los rendimientos constantes de escala,
[32289] obtenemos la siguiente expresión: xxx.
[32291] Sin embargo, es posible escribir xxx como una función de k, de la siguiente forma: xxx.
[32292] Sustituyendo (3.4) en (3.3) y reordenando términos se obtiene que xxx.
[32293] El supuesto (ii) comporta que xxx, mientras que el supuesto (iii) requiere que xxx y xxx.
[32294] Tal como se indicó en los capítulos 1 y 2, una función de producción bastante sencilla que satisface las propiedades neoclásicas es la función Cobb-Douglas xxx.
[32295] Esta función puede reescribirse en términos per cápita del siguiente modo, xxx.
[32296] Los individuos maximizan (3.1) sujeto a (3.5), a partir de un stock de capital inicial dado, xxx.
[32297] Resumiendo todo lo que se ha indicado hasta el momento, el problema neoclásico de crecimiento puede expresarse de la siguiente forma: xxx sujeto a xxx donde xxx está dado.
[32298] Para que la utilidad sea finita o esté acotada (de modo que nos enfrentemos a un problema con significado económico), se debe imponer la restricción de que los términos incluidos en el interior de la integral se aproximen a cero cuando t tiende a infinito.
[32299] Esto requiere la condición xxx.
[32301] En consecuencia, si el límite de (3.7) debe valer cero, se tiene que cumplir que xxx (3.8) Para resolver el modelo que acabamos de plantear, escribiremos el Hamiltoniano: xxx
[32302] en el que xxx es el multiplicador dinámico de Lagrange (que se puede interpretar como el precio implícito de los bienes de inversión).
[32303] Las condiciones de primer orden, en este caso, son las siguientes: xxx.
[32304] La ecuación (3.10) dice que el valor marginal del consumo debe ser igual al valor marginal de la inversión.
[32305] Tomando logaritmos en ambos miembros obtenemos que xxx.
[32306] Si ahora derivamos la anterior expresión respecto del tiempo llegamos al siguiente resultado xxx.
[32307] Podemos sustituir a continuación esta expresión en (3.11), para llegar a la condición que debe cumplir el crecimiento del consumo: xxx.
[32308] La ecuación (3.13) se denomina, en algunas ocasiones, la ecuación de Euler.
[32309] Para interpretarla, es conveniente reescribirla de la siguiente forma: xxx.
[32311] El beneficio proporcionado por el consumo también incluye el término xxx.
[32312] Si el consumidor desea alisar el consumo a través del tiempo (es decir si xxx), siempre que prevea que el consumo va a ser mayor en el futuro (es decir, cuando xxx), deseará aumentar su consumo en el momento presente.
[32313] Dicho de otro modo, tasas positivas de crecimiento comportan trayectorias de consumo poco lisas.
[32314] Por lo tanto, el consumidor es partidario de intercambiar parte de su consumo futuro por consumo presente.
[32315] Esto representa una preferencia adicional por el consumo de hoy que, sumada al término xxx descrito con anterioridad, representa el beneficio de consumir ahora.
[32316] El término de la derecha es el beneficio o rendimiento neto obtenido del ahorro y, por tanto, de la inversión, el cual es igual a la productividad marginal del capital menos la tasa de depreciación, b.
[32317] Los individuos optimizadores, en el margen, son indiferentes entre consumir e invertir.
[32318] La expresión (3.13) recoge, precisamente, esta indiferencia de los agentes individuales.
[32319] Si empleamos una tecnología Cobb-Douglas, xxx puede expresarse del siguiente modo: xxx.
[32321] Para desarrollar la intuición económica de dicha condición, será más sencillo pensar en el caso de una economía con horizonte finito.
[32322] En una sección posterior, veremos cómo en un problema con un horizonte temporal finito, la condición de transversalidad se reduce a xxx, siendo T el último momento del horizonte temporal del individuo, quizá debido a su muerte (vemos que esta condición equivale a (3.12) cuando T se acerca a infinito).
[32323] La interpretación económica de xxx es que individuos optimizadores no quieren dejar nada que tenga valor para después de su muerte.
[32324] Si dejasen algo de valor al final de su horizonte temporal, ya lo podrían haber consumido con anterioridad, aumentando de este modo su utilidad.
[32325] Pero si pudieran aumentar su utilidad, se sigue que el punto inicial no era óptimo.
[32326] Nótese que el valor del capital en el momento terminal puede ser igual a cero, bien porque la cantidad física xxx es cero, bien porque la cantidad física es positiva, pero su precio xxx es cero.
[32327] En la economía de Ramsey, se supone que los individuos "fenecen" en el infinito.
[32328] La ecuación (3.12) indica que el valor del stock de capital en el último momento del horizonte temporal que están planificando (es decir, en el infinito) debe ser cero.
[32329] Las ecuaciones (3.13) [o (3.14) para el caso de la función de producción Cobb-Douglas] y (3.5), junto con la condición inicial xxx, y la condición de transversalidad (3.12) determinan completamente la trayectoria dinámica de la economía.
[32331] EL estudio de la economía del planificador es inmediato, puesto que el planificador simplemente maximiza la utilidad de los individuos sujeto a la restricción presupuestaria a la que se enfrenta la economía en su conjunto.
[32332] Dado que (3.5) es precisamente la restricción del conjunto de la economía, el planificador estaría partiendo de la misma función de utilidad y de la misma restricción que nuestras familias afanadas en la producción de bienes por lo que elegiría las mismas cantidades de todas las variables.
[32333] La ecuación dinámica que constituye la solución del problema, por lo tanto, sería exactamente la misma.
[32334] Ramsey se había planteado la elección óptima desde el punto de vista del Estado; por eso consideraba que la introducción de una tasa de descuento era éticamente indefendible ya que, mediante este artificio, el Estado estaba ponderando en mayor medida a las generaciones presentes que a las futuras.
[32335] Esto puede ser comprobado de forma sencilla tomando el siguiente límite: xxx lo que constituye una indeterminación.
[32336] Si aplicamos la regla de l'Hôpital, y calculamos la derivada del numerador y del denominador con respecto a xxx, obtendremos que el límite es igual a xxx (recordemos que la derivada de xxx con respecto a xxx).
[32337] La justificación del término "-1" en la función de felicidad es que, en su ausencia, el límite cuando xxx tiende a 1 sería infinito en lugar de ser un número indeterminado y, por lo tanto, la regla de l'Hôpital no sería aplicable.
[32338] Para ver este resultado, tómese la condición xxx
[32339] Ver Barro y Sala-i-Martin (1994, apéndice matemático) para una discusión detallada de las técnicas matemáticas utilizadas en la resolución de este tipo de problemas dinámicos.
[32341] De este modo, el término xxx indicaría en este caso un rendimiento negativo del consumo presente, lo cual debe sustraerse del término p que expresa la preferencia por el consumo presente.
[32342] EL CRECIMIENTO EXÓGENO DE LA PRODUCTIVIDAD 
[32343] En los capítulos 2 y 3 hemos visto que en el modelo neoclásico simple la tasa de crecimiento a largo plazo es cero.
[32344] También hemos mencionado que para poder explicar el crecimiento a largo plazo que se observa en las economías desarrolladas, los economistas neoclásicos introdujeron el crecimiento exógeno de la productividad.
[32345] Una pregunta a la que se enfrentaron fue el tipo de progreso técnico que se debía introducir.
[32346] En la práctica, algunas innovaciones permiten producir la misma cantidad de producto con una cantidad menor de capital.
[32347] Es decir, ahorran capital en relación con el trabajo necesario para la producción (esto se llama progreso técnico ahorrador de capital).
[32348] Otras innovaciones ahorran trabajo en relación con el capital (progreso técnico ahorrador de trabajo), y otras, finalmente, no reducen el uso de ningún factor en relación con los demás (progreso técnico neutral o insesgado).
[32349] Es de destacar, no obstante, que la definición de innovaciones neutrales depende de lo que se quiera significar por "ahorro".
[32351] Hicks indicó que una innovación tecnológica era neutral (neutralidad de Hicks) con respecto al capital y al trabajo, si y sólo si, la relación existente entre las productividades marginales de los factores se mantenía constante para una proporción dada entre el capital y el trabajo.
[32352] En consecuencia, según esta definición, una innovación tecnológica es ahorradora de capital (de trabajo) si el producto marginal del capital (del trabajo) aumenta más que el producto marginal del trabajo (del capital) cuando la relación entre el capital y el trabajo permanece constante.
[32353] Es importante destacar el hecho de que la neutralidad de Hicks equivale a efectuar una remuneración de las isocuantas.
[32354] De este modo, las funciones de producción con un progreso técnico neutral de Hicks se pueden escribir de la siguiente forma: xxx en la cual xxx es un índice del estado de la tecnología en el momento xxx, que evoluciona según la siguiente expresión: xxx (es decir que xxx), y xxx sigue siendo una función homogénea de grado 1.
[32355] La segunda definición de progreso técnico insesgado se debe a Harrod.
[32356] Según ésta, una innovación tecnológica es neutral (neutralidad de Harrod), si las participaciones relativas del capital y del trabajo xxx permanecen inalteradas para una relación capital-producto dada.
[32357] Robinson (1938) y Uzawa (1961) demostraron que esta condición implica que la función de producción debe tener la siguiente forma: xxx en la cual xxx, de nuevo, es un índice de la tecnología en el momento t, de tal forma que xxx, además, xxx vuelve a ser una función homogénea de grado 1.
[32358] Como se observa, esta función de producción indica que, con una misma cantidad de capital, se precisa una cantidad cada vez menor de trabajo para obtener el mismo aumento en la producción.
[32359] Éste es el motivo por el que la innovación tecnológica que se recoge en las funciones de producción de esta familia también se conoce como progreso técnico potenciador del trabajo.
[32361] Esto conllevaría que, para un número dado de horas de trabajo xxx, se requeriría una cantidad de capital decreciente para alcanzar la misma isocuanta.
[32362] El motivo por el cual conviene plantearse el tipo de progreso técnico que se va a introducir en la función de producción es que, tal como demostró Phelps (1962, 1966), una condición necesaria y suficiente para la existencia de estado estacionario en una economía con un progreso técnico exógeno neutral es que este progreso técnico sea neutral en el sentido de Harrod, es decir, potenciador del trabajo (véase Barro y Sala-i-Martin(1994, capítulo 1) para una derivación sencilla, pero bastante detallada de este resultado).
[32363] Es importante destacar que cuando se parte de funciones de producción del tipo Cobb-Douglas, los dos tipos de progreso técnico son completamente equivalentes, puesto que xxx.
[32364] La irrelevancia de la incorporación del progreso técnico 
[32365] Todos los tipos de progreso técnico que se han discutido hasta el momento, consideran el cambio técnico como "no incorporado", en el sentido de que, cuando aparece una mejora tecnológica, todas las máquinas existentes hasta el momento aumentan su productividad.
[32366] Un ejemplo de este tipo de avances lo constituyen las mejoras en los programas de ordenador (software informático): éstas mejoran el rendimiento de todos los ordenadores existentes.
[32367] Existen numerosas invenciones, sin embargo, que no afectan a todas las máquinas existentes sino que solamente afectan a las máquinas nuevas.
[32368] Éste sería el caso, por ejemplo, del hardware informático: las nuevas generaciones de ordenador aumentan la velocidad y la eficiencia de ordenación de datos, pero sólo de las nuevas máquinas.
[32369] Las máquinas de generaciones obsoletas no se ven afectadas por las nuevas tecnologías.
[32371] En la década de los sesenta, a la par que se estaba desarrollando el modelo neoclásico de crecimiento exógeno, surgió el debate sobre la importancia del progreso técnico incorporado para el crecimiento económico.
[32372] Los defensores de lo que en aquel momento fue llamado "nueva teoría de la inversión" (tecnologías incorporadas) afirmaban que la inversión en nuevas máquinas tenía el efecto habitual de aumentar el stock de capital y un efecto adicional consistente en la modernización del stock de capital medio.
[32373] Los defensores de la "irrelevancia de la incorporación del progreso técnico" defendían, por su parte, que este nuevo efecto tenía consecuencias para el nivel de las variables, pero no afectaba a la tasa de crecimiento en el estado estacionario.
[32374] En este contexto, dos importantes artículos de Solow (1969) y Phelps (1962) demostraron lo siguiente: 
[32375] i)  El modelo neoclásico con progreso técnico incorporado y competencia perfecta (en el que la productividad marginal del trabajo sea, por tanto, igual para todos los trabajadores, con independencia de la "cosecha" a la que pertenezcan las máquinas que estén utilizando) puede ser reescrito de tal forma que sea equivalente al modelo neoclásico con progreso técnico no incorporado (Solow [1969]).
[32376] ii)  La tasa de crecimiento en el estado estacionario es independiente de la parte que representa el progreso técnico incorporado, aunque depende de la tasa total de progreso técnico (Phelps [1962]).
[32377] iii)  La velocidad de convergencia es tanto mayor cuanto mayor sea la parte que represente el progreso incorporado (Phelps [1962]). 
[32378] De esta forma, la distinción entre el progreso técnico incorporado y no incorporado, que no tiene consecuencias para el estudio de las variables a largo plazo, cobra su importancia en el estudio de la dinámica del corto plazo .
[32379] La modelización del progreso técnico incorporado es difícil, puesto que es preciso seguir la pista de las cosechas antiguas de capital y del trabajo asociado a éstas.
[32381] Esta función refleja el hecho de que la generación de una unidad de ahorro xxx en un período genera un aumento superior del capital que la obtención de esa misma unidad en un período anterior.
[32382] Esto equivale a afirmar que las cosechas más recientes de capital son más productivas.
[32383] El modelo neoclásico con progreso técnico 
[32384] Es el momento de regresar al progreso técnico potenciador del trabajo, que expresamos en (4.2) (recordemos que ése es el único tipo de progreso técnico consistente con la existencia de un estado estacionario).
[32385] Obsérvese que la producción depende del capital xxx y del factor xxx.
[32386] A este elemento se le denomina en algunas ocasiones trabajo efectivo.
[32387] Los individuos maximizan su función de utilidad (3.1) sujeto a restricciones del tipo (3.5), en las que la producción viene dada por (4.2).
[32388] Para resolver este modelo, vamos a expresar todas las variables en relación al trabajo efectivo, procediendo de una forma análoga a la que utilizamos para resolver el modelo de Ramsey en el capítulo 3, en el que presentamos todas las ecuaciones en términos per cápita.
[32389] Si denotamos las variables expresadas en unidades efectivas mediante un circunflejo (de modo que xxx), podemos escribir la función de utilidad de la siguiente forma: xxx y la restricción presupuestaria como xxx.
[32391] Este modelo coincide con el modelo de Ramsey del capítulo anterior, salvo por dos pequeñas diferencias.
[32392] En primer lugar, la tasa efectiva de descuento de la función de utilidad es xxx, en lugar de ser xxx.
[32393] En segundo lugar, la tasa efectiva de depreciación es xxx, en lugar de xxx.
[32394] Si dejamos de lado estas dos nimias diferencias, el modelo es el mismo que el presentado en el último capítulo, por lo que podemos reproducir los resultados obtenidos allá.
[32395] Mencionemos en primer lugar que la condición que debe cumplirse para que la función de utilidad esté acotada es, en este caso: xxx a la par que la ecuación diferencial que describe el crecimiento del consumo es: xxx.
[32396] La condición de transversalidad requiere que xxx, siendo xxx el precio implícito del capital.
[32397] Las ecuaciones (4.4) y (4.6) determinan la dinámica de xxx y xxx.
[32398] Su comportamiento es exactamente análogo al que vimos para xxx y xxx en el gráfico 3.1.
[32399] La tasa de crecimiento en estado estacionario de todas las variables en términos per cápita es, en consecuencia, xxx.
[32401] Aquí reside la diferencia fundamental respecto a los efectos de una perturbación no incorporada, debido, especialmente, a las diferentes implicaciones de los dos casos para la prociclicidad de los salarios reales y los tipos de interés. 
[32402] MODELOS CONVEXOS DE CRECIMIENTO ENDÓGENO: EL MODELO AK
[32403] El modelo de las familias productoras 
[32404] En este capítulo estudiaremos el modelo de crecimiento endógeno más simple, el modelo AK.
[32405] Aunque algunos economistas utilizaron en un momento u otro algún tipo de tecnologías lineales (véase por ejemplo Von Neuman (1937), Eaton (1981), o Cohen y Sachs (1986)), la introducción del modelo lineal a la nueva literatura de crecimiento endógeno de los años ochenta se atribuye a Rebelo (1991).
[32406] En este modelo, se postula la existencia de una función de producción que es lineal en el único factor de producción, el capital.
[32407] Por este motivo, la función de producción posee simultáneamente las propiedades de rendimientos constantes de escala y rendimientos constantes del capital, xxx siendo xxx una constante exógena y xxx el capital agregado, definido de una manera amplia.
[32408] Supongamos, en primer lugar, un contexto en el que las familias dedicadas a la producción de bienes maximizan una función de utilidad de horizonte infinito, similar a (3.1), xxx, en la cual xxx es la tasa de descuento, xxx es la tasa constante de crecimiento de la población y xxx es la inversa de la elasticidad de sustitución, que también es constante y recoge el mayor o menor interés de los individuos por suavizar su consumo a través del tiempo (véase el capítulo 3 para una discusión más detallada de esta función de utilidad).
[32409] Imaginemos que nos encontramos en una economía cerrada y sin gobierno por lo que el ahorro bruto debe ser igual a la inversión bruta.
[32411] Puesto que la tasa de depreciación es constante, la función de acumulación de la economía puede expresarse, en términos per cápita, de la siguiente forma:xxx.
[32412] La ecuación (5.3) corresponde a la anterior (3.5), con la única diferencia de que, en ésta, la tecnología viene dada por la función xxx, en lugar de por xxx.
[32413] Las familias de este modelo maximizan (5.2) sujetas a la restricción que les impone (5.3) y tomando el volumen de capital inicial xxx como dado.
[32414] Para solucionar este problema, debemos construir el Hamiltoniano xxx.
[32415] Las condiciones de primer orden son: xxx.
[32416] Tal como se hizo en el capítulo 2, se puede utilizar (5.5) para obtener la tasa de crecimiento del consumo tomando logaritmos, derivando respecto del tiempo y sustituyendo el resultado en (5.6).
[32417] Obtenemos de este modo el siguiente resultado: xxx.
[32418] Obsérvese que (5.8) indica que el consumo crece a una tasa constante en todo momento.
[32419] Para que puedan obtenerse tasas positivas de crecimiento, es necesario suponer que xxx.
[32421] Una vez más, el miembro de la izquierda de (5.9) es el beneficio obtenido del consumo y el miembro de la derecha recoge el beneficio o rendimiento obtenido de la inversión.
[32422] El beneficio del consumo depende de la tasa de descuento (que refleja el hecho de que los individuos prefieren consumir cuanto antes mejor) y de la tasa de crecimiento, que se tiene en cuenta para lograr un consumo lo más liso posible.
[32423] En efecto, si la tasa de crecimiento es positiva, la gente está dispuesta a desplazar una parte del consumo que realizará en el futuro al presente para lograr así un consumo más liso.
[32424] El miembro de la derecha es el rendimiento de la inversión, que se reduce a la productividad marginal neta del capital y es igual por lo tanto a xxx (dado que no existen costes de ajuste ni fenómenos de rendimientos decrecientes del capital, este rendimiento es independiente de la tasa de crecimiento o del stock de capital).
[32425] Para calcular la tasa de crecimiento del capital per cápita, dividimos por xxx los dos miembros de la ecuación dinámica (5.3), y así obtenemos que xxx.
[32426] En el estado estacionario, la tasa de crecimiento del capital xxx es constante.
[32427] Si se llevan todos los términos constantes de (5.10) a un lado de la expresión y se toman logaritmos y derivadas del tiempo, llegamos a la conclusión de que xxx.
[32428] Dado que la producción de la economía es proporcional a xxx, la tasa de crecimiento de xxx es igual a la tasa de crecimiento de xxx, por lo que xxx.
[32429] En otras palabras, las tasas de crecimiento de estado estacionario del consumo, el capital y la producción per cápita son idénticas, xxx y vienen dadas por (5.8).
[32431] De este modo, su evolución temporal viene dada por la expresión xxx.
[32432] Si sustituimos esta ecuación temporal en la condición de transversalidad (5.7), concluiremos que xxx.
[32433] La acotación de la utilidad 
[32434] Una tasa de crecimiento positiva en el estado estacionario comporta que el término de la función de utilidad xxx crezca sin ningún límite.
[32435] Puesto que la función de utilidad, xxx, es la suma descontada de un número infinito de tales términos, xxx valdrá infinito, a menos que se restrinja el conjunto de los parámetros factibles.
[32436] Si la utilidad fuera infinita, los individuos no tendrían ningún motivo para maximizar la utilidad, ¡ya que siempre serían, en todo caso, infinitamente felices! 
[32437] Para lograr que la utilidad esté acotada, es preciso, pues, que el término que está dentro de la integral se aproxime a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
[32438] Dado que el consumo siempre crece a la tasa constante xxx, cuyo valor proporciona (5.8), podemos escribir xxx como xxx.
[32439] En consecuencia, el término relativo al consumo de la función de utilidad puede ser escrito como xxx.
[32441] Si empleamos el valor de xxx que nos proporciona (5.8), llegamos a la conclusión de que la condición que debe cumplirse para que la utilidad esté acotada es xxx.
[32442] Dicho de otro modo, la tasa de descuento tiene que ser lo suficientemente grande para que la utilidad esté acotada.
[32443] La dinámica de la transición 
[32444] Anteriormente se ha demostrado que, en el estado estacionario, el consumo, el capital y la producción per cápita, deben crecer todos a la misma tasa.
[32445] La ecuación (5.8), que se cumple para todo xxx, indica que el consumo crecerá siempre a una tasa constante dada por xxx, por lo que el consumo siempre se encuentra en el estado estacionario.
[32446] En esta sección demostraremos que el capital y la producción también crecen a la misma tasa en todo momento, por lo que el modelo no presenta ningún tipo de transición hacia el estado estacionario.
[32447] Si tomamos la restricción presupuestaria (5.3) y la integramos entre xxx (premultiplicando previamente ambos lados por el factor integrante xxx, y teniendo en cuenta asimismo que xxx, se obtiene el siguiente resultado: xxx.
[32448] La solución a (5.14) es xxx siendo xxx.
[32449] Si tras sustituir el valor de xxx que acabamos de obtener en la condición de transversalidad (5.12), tomamos el límite cuando xxx tiende a infinito, llegamos al resultado final que estábamos buscando: xxx.
[32451] De este modo, el cumplimiento de la condición de transversalidad exige que el término constante de (5.15) valga cero, de tal forma que xxx.
[32452] Esto implica que el valor del capital debe ser proporcional al del consumo, razón por la cual ambos deben crecer a la misma tasa en todos los puntos del tiempo.
[32453] Puesto que la producción es proporcional al capital, su tasa de crecimiento también es constante en todo momento.
[32454] En consecuencia, una economía en la que exista una tecnología AK no presentará transición dinámica, y todas las variables crecerán permanentemente a una tasa constante.
[32455] La hipótesis de convergencia 
[32456] A diferencia del modelo neoclásico, este modelo no predice la convergencia de las economías (ni absoluta ni condicional).
[32457] Para ver este punto consideremos un conjunto de países con los mismos valores de los parámetros xxx.
[32458] Imaginemos, además, que la única diferencia entre ellos sea el valor inicial del capital xxx.
[32459] El modelo AK predice que la tasa de crecimiento de todos los países será constante e igual a (5.8).
[32461] Supóngase, por otra parte, que los países se diferencian únicamente por sus parámetros de productividad xxx.
[32462] Puesto que xxx, los países con un crecimiento bajo continuarán con este tipo de crecimiento para siempre, y esto independientemente del valor de su renta o de su producción inicial.
[32463] Es decir, una vez más el modelo prescribe que no existe ninguna relación entre el crecimiento y la renta inicial.
[32464] Una forma alternativa de llegar a este resultado consiste en recurrir a la linealización del modelo neoclásico en las proximidades del estado estacionario que se desarrolló en el capítulo 3, y hacer que la participación del capital ,xxx sea igual a la unidad (con lo que la tecnología se convierte en AK).
[32465] Obsérvese que, en este caso, el parámetro 11 de (3.29) es igual a cero, de modo que el valor propio "negativo" es igual a xxx.
[32466] Como resultado, la ecuación de convergencia (3.29) indica que el valor del coeficiente de regresión de la renta inicial en este modelo debe ser cero.
[32467] Tal como se mencionó en el capítulo 2, las implicaciones de los diferentes modelos en relación con la existencia de convergencia económica entre países han sido utilizadas por una heterogeneidad de autores para contrastar la validez del modelo neoclásico respecto a los modelos de crecimiento endógeno.
[32468] El resultado fundamental que surge de estos estudios empíricos (que se encuentran resumidos en el capítulo 10 de este libro) es que la hipótesis de convergencia parece cumplirse con regularidad, al menos en un sentido condicional, para una amplia variedad de fuentes estadísticas.
[32469] Introducción de mercados 
[32471] Puesto que el análisis es muy parecido al que se desarrolló en el capítulo 3, no vamos a reproducir de nuevo todos los pasos.
[32472] Como es habitual, las familias maximizan (5.2) sujeto a la ecuación dinámica xxx en la cual xxx es el número de activos por persona y xxx es la tasa de rendimiento de los activos.
[32473] Como en el modelo AK no se recoge explícitamente el factor trabajo, en (5.17) se han omitido las rentas salariales.
[32474] Esta ecuación expresa el hecho de que la renta total per cápita, xxx, debe ser asignada entre el gasto en bienes de consumo y la adquisición de nuevos activos, xxx.
[32475] El término xxx aparece en (5.17), tal como ya aparecía en los capítulos 1 y 2, para recoger el hecho de que un aumento en xxx, si todas las otras cosas permanecen igual, reduce el número de activos de la economía por persona.
[32476] Las condiciones de primer orden de este problema de maximización comportan que la ecuación de Euler tenga la forma xxx y la condición de transversalidad, por su parte, viene dada por xxx.
[32477] Las empresas alquilan el único factor de producción, el capital, y utilizan la tecnología AK para obtener un producto, con el objetivo de maximizar sus beneficios.
[32478] Las condiciones de primer orden del problema de las empresas exigen que las tasas de rendimiento sean iguales a los productos marginales: xxx.
[32479] Dado que nos enfrentamos a una economía cerrada sin gobierno, el único activo del que existe una oferta neta positiva es el capital, por lo cual, necesariamente xxx.
[32481] Por último, si se introduce la condición de equilibrio xxx en la condición de transversalidad, se obtiene (5.12).
[32482] Las ecuaciones dinámicas de la economía en que existen mercados competitivos, (5.8) y (5.3), y la condición terminal (5.12), coinciden, por tanto, con las que regían en una economía de familias productoras.
[32483] En consecuencia, los dos planteamientos son idénticos.
[32484] Del mismo modo como vimos en el capítulo 3 para el modelo neoclásico, un planificador maximizaría la misma función de utilidad sujeto a la restricción de recursos a la que se enfrenta el conjunto de la economía.
[32485] Puesto que (5.3) es una restricción de recursos de esta índole, el problema del planificador coincide con el problema de las familias productoras.
[32486] EL corolario es que las ecuaciones dinámicas que caracterizan la solución también deben ser las mismas.
[32487] La tecnología AK a través de la introducción del capital humano 
[32488] Se mencionó en el capítulo 2 que el modelo AK puede ser interpretado como un modelo en el que coexisten el capital físico y el humano.
[32489] En esta sección haremos explícita esta relación a través de una función de producción Cobb-Douglas en la que los dos factores de producción son el capital físico, xxx, y el humano, xxx, xxx siendo xxx y xxx un parámetro constante que refleja el nivel alcanzado por la tecnología.
[32491] La ecuación (5.21) implica que los dos tipos de capital, en su vertiente de activos reales, son sustitutos perfectos, de modo que sus poseedores exigirán que la tasa de rendimiento de ambos coincida.
[32492] Puesto que la tasa de rendimiento de cada activo viene dada por su productividad marginal neta,será preciso que xxx.
[32493] Si introducimos el supuesto adicional de que las dos tasas de depreciación son idénticas, podemos deducir que xxx lo que nos proporciona una relación unívoca entre xxx y xxx: xxx.
[32494] Sustituyendo (5.23) en la función de producción (5.20), obtenemos la expresión que queríamos encontrar, xxx, siendo xxx una constante irrelevante que toma el valor xxx.
[32495] Éste es el motivo por el que podemos considerar al modelo AK como un modelo en el que coexisten capital físico y humano, a condición de que las tasas de rendimiento de los dos tipos de capital sean iguales en todo momento.
[32496] GASTO PÚBLICO Y CRECIMIENTO 
[32497] EL modelo de las familias productoras 
[32498] Barro (1990) proporciona una forma alternativa de interpretar la tecnología AK, basada en la introducción de factores de producción de provisión pública en la función de producción.
[32499] En este contexto, la producción depende de las cantidades existentes de dos factores de producción: capital privado, xxx, y un factor de producción provisto por el sector público, xxx.
[32501] En su artículo original, Barro suponía que xxx era un bien privado cuya provisión corría a cargo del Estado.
[32502] Sin embargo, no existe ninguna razón para que no pueda tratarse de un bien público puro de consumo no rival como los descritos en Samuelson (1954).
[32503] Mejor aún, podría tratarse de un bien público parcialmente rival sujeto a fenómenos de congestión como es el caso de las autopistas, los aeropuertos o los tribunales de justicia.
[32504] De hecho, se puede argumentar que casi todos los bienes públicos entran dentro de esta última categoría.
[32505] Incluso el arquetipo de bien público, la defensa nacional, es un bien sujeto a congestión (véase Thompson (1976)): cuando un ciudadano aumenta su nivel de renta también aumenta la renta del país en el que vive.
[32506] De alguna manera, esto incrementa el premio que las fuerzas extranjeras ganarían si invadieran el país y, en consecuencia, reduce la protección de la que los demás ciudadanos disfrutan.
[32507] Es decir, de alguna manera congestiona la defensa del país.
[32508] A pesar de todo, en este capítulo partiremos del enfoque de Barro (1990) y consideraremos que xxx es un bien privado provisto por el sector público (véase Barro y Sala-i-Martin (1992c) para el análisis de algunas de estas extensiones).
[32509] Si se utiliza una función de producción del tipo Cobb-Douglas, la producción agregada vendrá dada por xxx siendo xxx.
[32511] Imaginemos también que el Estado tiene que equilibrar su presupuesto en todos los momentos del tiempo (no se permite la existencia de déficit público, en ningún caso),
[32512] y que la única fuente de ingresos públicos es un impuesto sobre la renta con un tipo de gravamen constante e igual a xxx.
[32513] Como de costumbre, los individuos maximizan la función de utilidad (5.2) sujeto a la restricción xxx en la cual xxx deben considerarse como dados.
[32514] Destaquemos que esta restricción es muy similar a la incluida en (5.3).
[32515] La única diferencia reside en que la función de producción viene dada por (6.1) y que los individuos toman en consideración su renta después de impuestos en lugar de su renta bruta.
[32516] El Estado recauda xxx unidades de renta y las transforma en un volumen de bienes públicos 9.
[32517] De este modo, la restricción presupuestaria del sector público puede expresarse como xxx.
[32518] Puesto que los agentes individuales toman el gasto público como dado (es decir, cuando resuelven su problema de optimización no son conscientes del efecto que tienen sus decisiones de inversión, a través de la ecuación [6.3], sobre la cantidad que gasta el sector público), debemos concluir que se enfrentan a un problema cóncavo.
[32519] En consecuencia, se pueden aplicar las técnicas habituales de optimización.
[32521] Si se toman logaritmos, se derivan los dos miembros de (6.5) respecto del tiempo y se sustituye el resultado en (6.6), llegamos a la condición que hemos ido encontrando continuamente, según la cual el crecimiento del consumo debe ser proporcional a la diferencia que existe entre la tasa de rendimiento (o la productividad marginal neta del capital después de impuestos) y el término xxx.
[32522] A continuación podemos operar en la restricción presupuestaria del Estado, (6.3), para expresar el tipo impositivo, xxx, como una función de xxx.
[32523] Despejando xxx, obtenemos que: xxx.
[32524] Y, por fin, sustituyendo (6.9) en (6.8), obtendremos la tasa de crecimiento como función de los parámetros xxx.
[32525] Como ya viene siendo habitual, si se divide la restricción dinámica por xxx, se toman logaritmos y se derivan ambos miembros respecto del tiempo, concluiremos que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento del capital xxx.
[32526] Dado que xxx es constante, la tasa de crecimiento del consumo siempre va a ser constante.
[32527] Si ahora procedemos del mismo modo a como hicimos en el capítulo anterior, llegaremos a la conclusión de que el consumo es siempre proporcional al capital, por lo que el capital crece permanentemente a una tasa constante.
[32528] Debido a la restricción presupuestaria del sector público, al ser xxx una constante y crecer xxx a una tasa constante, xxx debe crecer igualmente a una tasa constante.
[32529] Por fin, y puesto que todos los factores crecen a la tasa dada por xxx, la producción también debe crecer en todo momento a esa tasa.
[32531] La razón intuitiva por la que en este modelo se produce un crecimiento endógeno es la siguiente: cuando los individuos deciden ahorrar una unidad de consumo y con ella comprar una unidad de capital, aumentan el ingreso nacional en la cantidad equivalente a la productividad marginal del capital.
[32532] EL impuesto sobre la renta hace que este aumento del ingreso se transforme en un aumento del erario público y éste, a su vez, permite un incremento del gasto, 9.
[32533] De este modo un aumento de xxx conlleva un aumento proporcional de xxx, por lo que xxx y xxx crecen al mismo ritmo.
[32534] Es como si el input público fuera otro factor de producción susceptible de ser acumulado.
[32535] Dado que estamos suponiendo la existencia de rendimientos constantes de xxx y xxx conjuntamente, la producción presenta rendimientos constantes de escala de los factores que pueden ser acumulados.
[32536] En definitiva, la función de producción ha devenido una AK.
[32537] La relación entre el tamaño del Estado y la tasa de crecimiento 
[32538] La ecuación (6.10) relaciona la tasa de crecimiento de la economía con el tipo impositivo, xxx.
[32539] De la restricción presupuestaria del Estado se desprende que el tipo impositivo debe ser igual al peso del sector público en la economía, xxx.
[32541] Si xxx es cero, la productividad marginal del capital después de impuestos también vale cero, por lo que la tasa de crecimiento de (6.10) es negativa: xxx.
[32542] Esto se debe a que cuando xxx es cero, el Estado no puede proveer bienes públicos.
[32543] Cuando no existen bienes públicos, el rendimiento de la inversión privada es cero (como puede observarse efectuando la derivada de la producción con respecto al capital xxx y tomando xxx).
[32544] En el otro extremo, cuando xxx vale 1, el Estado provee una cantidad enorme de bienes públicos, que hacen que el capital privado sea muy productivo.
[32545] EL problema estriba en que el rendimiento neto después de impuestos vuelve a ser, de nuevo, negativo, puesto que el Estado hace suya la totalidad de la producción a través del tipo impositivo del 100 por ciento.
[32546] Una vez más, por lo tanto, la tasa de crecimiento es negativa.
[32547] Para valores intermedios de xxx, la relación entre xxx y xxx tendrá, pues, forma de U invertida, tal como se puede observar en el gráfico 6.1.
[32548] El máximo de esta función se encuentra en 
[32549] xxx.
[32551] La relación entre el tamaño del gobierno y la tasa de crecimiento 
[32552] La ecuación (6.11) indica que el Estado puede maximizar el crecimiento de la economía
[32553] adoptando un tamaño igual al que resultaría del mercado en un equilibrio competitivo con factores de producción privados.
[32554] Dicho de otro modo, la participación del producto provisto por el Estado debe ser igual a la participación que viene determinada por la tecnología,xxx(obsérvese que xxx es el exponente del factor de producción público en la función de producción).
[32555] La tasa de crecimiento que resultaría en este caso sería xxx.
[32556] La economía de planificador central y el crecimiento óptimo 
[32557] Es fácil demostrar que la solución de un modelo en el que existan mercados competitivos será la misma que se obtiene en el modelo de las familias productoras que hemos considerado hasta el momento.
[32558] Puesto que la demostración sigue exactamente los mismos pasos que la que se ofreció en el capítulo 5, no la reproduciremos aquí.
[32559] Sin embargo, y a diferencia de lo que ocurría en el modelo AK, la solución que adopta el planificador será, en este caso, diferente.
[32561] Dicho de otro modo, cuando un individuo decide invertir, se preocupa únicamente de la tasa de rendimiento privado de su inversión.
[32562] Sin embargo, cuando invierte una unidad adicional de capital está aumentando los ingresos fiscales del sector público.
[32563] EL Estado utiliza estos ingresos adicionales para proveer un mayor número de unidades de 9, lo que hace aumentar la productividad marginal de todos los productores (obsérvese la similaridad entre este efecto y el que produce una externalidad).
[32564] La tasa de rendimiento real o social es superior a la tasa de rendimiento privada.
[32565] Pero, dado que cada uno de los productores representa una parte muy reducida de la economía, ninguno de ellos tomará en consideración el rendimiento social, por lo que la inversión privada será inferior a la que sería deseable desde un punto de vista social.
[32566] De hecho, se está produciendo una "externalidad de inversión" que opera a través de la restricción presupuestaria del sector público.
[32567] Algebraicamente, a diferencia de los agentes privados, el planificador maximiza la utilidad sujeto a la restricción del sector privado (6.2) y sujeto a la restricción del presupuesto del sector público, (6.3).
[32568] Para encontrar la solución a este problema de maximización, sustituimos (6.3) en (6.2), y así obtenemos que xxx.
[32569] De modo que el planificador maximiza (5.2) sujeto a la nueva restricción (6.12).
[32571] Y sus condiciones de primer orden son: xxx.
[32572] Si procedemos a efectuar las sustituciones habituales, acabaremos por obtener que la tasa de crecimiento de una economía regida por un planificador viene dada por la diferencia entre esta tasa de crecimiento y la que se obtiene en el equilibrio competitivo (6.10) estriba en que en (6.10) aparecía el parámetro ,xxx multiplicando la tasa de rendimiento.
[32573] Dado que xxx, es evidente que la solución competitiva proporciona una tasa de crecimiento de la economía inferior, para todo xxx.
[32574] La razón intuitiva por la que sucede esto ya fue indicada anteriormente: los agentes privados no toman en consideración el efecto que tienen sus decisiones de inversión en el presupuesto del sector público e, indirectamente, a través de éste, sobre la productividad de todos los demás productores.
[32575] Puesto que la tasa de rendimiento que ellos perciben es inferior a la tasa social, tenderán a invertir insuficientemente y, por este motivo, la economía crecerá a una tasa inferior a la óptima.
[32576] Por último, hay que destacar el hecho de que la tasa de crecimiento se maximiza para xxx, el mismo resultado que se obtuvo en el equilibrio competitivo.
[32577] Si se sustituye este valor óptimo de xxx en (6.10) y (6.17), concluiremos que la tasa de crecimiento que se alcanza en una economía regida por un planificador será superior a la tasa de crecimiento que se alcanza si el Estado fija la tasa impositiva a su valor óptimo xxx, y deja que los mercados funcionen de forma competitiva.
[32578] Un bien público que no estaría sujeto a congestión sería la institución de la realeza.
[32579] Por ejemplo, todos los ciudadanos del país pueden "disfrutar" de los reyes (y las princesas) sin reducir el disfrute de los demás ciudadanos.
[32581] Aunque en la vida real los gobiernos pueden tener déficit o superávit fiscales, a largo plazo el presupuesto público debe estar más o menos equilibrado.
[32582] Como lo que nos interesa a nosotros es el largo plazo, el supuesto de equilibrio fiscal en todo momento parece razonable.
[32583] Este efecto es universal: las acciones del gobierno siempre se tienen que financiar y ello conlleva distorsiones que reducen los incentivos a la inversión y el crecimiento.
[32584] Para hallar el valor de (6.11), basta con igualar a cero la derivada de la tasa de crecimiento con respecto a xxx.
[32585] En este contexto, en el que existe una función de producción Cobb-Douglas y las funciones de utilidad poseen una elasticidad de sustitución constante, la maximización de la tasa de crecimiento es equivalente a la maximización del valor presente de la utilidad xxx.
[32586] Estrictamente hablando, el planificador no debería restringirse asimismo a utilizar un impuesto sobre la renta.
[32587] Si se le dejara escoger libremente el tipo de impuesto así como también el nivel de xxx, entonces maximizaría (5.2) sujeto a xxx.
[32588] El lector puede comprobar que la solución a este problema es idéntica a la del texto cuando el tamaño del impuesto se pone al nivel óptimo, xxx.
[32589] EL APRENDIZAJE POR LA PRÁCTICA Y EL DESBORDAMIENTO DEL CONOCIMIENTO 
[32591] En el seminal artículo que dio inicio a la literatura de crecimiento endógeno, Romer (1986) eliminó la tendencia de los rendimientos decrecientes del capital mediante el supuesto de que el conocimiento era obtenido como un subproducto de la inversión en capital físico.
[32592] Este fenómeno, conocido como aprendizaje por la práctica ("  learning by doing ") fue tomado de Arrow (1962) y Sheshinski (1967).
[32593] Arrowhabía argumentado en su día que la adquisición de conocimientos (el aprendizaje) estaba vinculada a la experiencia y citaba ejemplos de la industria aeronáutica para la cual existen pruebas concluyentes de la existencia de una estrecha interacción entre la experiencia acumulada y los aumentos de productividad.
[32594] También defendía que una buena medida del aumento de la experiencia era la inversión, debido a que "cada máquina nueva que es producida y puesta en funcionamiento es capaz de modificar el entorno en el que tiene lugar la producción, por lo que el aprendizaje recibe continuamente nuevos estímulos" (p. 157).
[32595] Esto implica que un índice de experiencia es la inversión acumulada o, lo que es lo mismo, el stock de capital.
[32596] Formalmente, sea la función de producción de la empresa xxx una función del capital y del trabajo.
[32597] Supongamos que contamos con una tecnología potenciadora del trabajo, a través del factor xxx: xxx.
[32598] La función xxx satisface las propiedades neoclásicas descritas en el capítulo 3.
[32599] A diferencia de lo que expusimos allí, sin embargo, no suponemos que xxx crece a una tasa exógena xxx sino que, siguiendo la inspiración de Arrow, imaginaremos que crece de forma paralela a la inversión.
[32601] Este fenómeno es conocido como el desbordamiento del conocimiento ("  knowledge spillovers ").
[32602] Por todo lo dicho, el stock de conocimientos de la economía crecerá de forma paralela a la cantidad total de inversión, de modo que xxx, siendo xxx el valor alcanzado por el capital agregado.
[32603] Si integramos la inversión y el incremento experimentado por el conocimiento desde el principio de los tiempos y el presente, podemos concluir que xxx.
[32604] Esto significa que, en el momento xxx, el estado del conocimiento es proporcional al stock de capital.
[32605] Si se parte de una función de producción Cobb-Douglas, la producción de la empresa xxx se puede escribir de la siguiente forma: xxx.
[32606] Esta función de producción presenta rendimientos constantes de escala cuando xxx permanece constante.
[32607] Sin embargo, si cada productor aumenta xxx, xxx aumenta en la misma medida: al aumentar xxx y xxx en una determinada cuantía, la producción crece en la misma proporción.
[32608] En otras palabras, existen rendimientos constantes de capital a nivel agregado, lo cual, como ya hemos indicado en varias ocasiones, es lo que permite generar crecimiento endógeno.
[32609] Es decir, el aprendizaje por la práctica junto con el efecto desbordamiento ha permitido transformar un modelo que en principio parecía neoclásico en un modelo AK de crecimiento endógeno.
[32611] Puesto que xxx es grande, cada empresa toma el stock agregado de capital como dado, a pesar de que xxx.
[32612] Si sumamos la producción de todas las empresas, la función de producción agregada adopta la siguiente forma:xxx en la que xxx.
[32613] Debido a la conveniencia de trabajar en términos per cápita, dividimos los dos miembros de (7.4) por xxx, y llegamos a la expresión xxx donde xxx.
[32614] Si imaginamos que no existe crecimiento de la población, las familias maximizan una función de utilidad que tiene la misma forma que (5.2) (en la quexxx), sujeta a xxx y tomando el capital inicial xxx como dados.
[32615] Para resolver este problema plantearemos un Hamiltoniano que, a estas alturas, nos resulta ya familiar: xxx.
[32616] Las condiciones de primer orden son en este caso: xxx.
[32617] El equilibrio en el mercado de capital requiere que el capital total de la economía sea igual a la suma de los stocks de capital individuales.
[32618] Dado que xxx es el capital per cápita, el capital total será igual al producto de xxx por la cantidad de individuos xxx, de modo que xxx.
[32619] A partir de esta condición, y tomando logaritmos y derivadas en (7.8), y sustituyendo, por último, el resultado en la ecuación (7.9), se obtiene la tasa de crecimiento del consumo xxx que es proporcional a la diferencia entre la productividad marginal neta del capital y la tasa de descuento individual.
[32621] Puesto que la producción agregada es proporcional al valor del capital agregado, las tasas de crecimiento de xxx e xxx son iguales, por lo que la producción crecerá también a esa misma tasa.
[32622] Empleando el mismo procedimiento que se utilizó en el modelo AK es fácil demostrar que estas tasas de crecimiento son constantes e iguales a (7.11) en todo momento.
[32623] Esto quiere decir que el modelo no presenta transición dinámica de ningún tipo, es decir, xxx, para todo xxx.
[32624] Efectos de escala 
[32625] Una característica relevante de (7.11) es que la tasa de crecimiento depende de la población de la economía.
[32626] Este hecho se conoce como un efecto de escala e implica que los países con una población mayor crecerán más deprisa.
[32627] Es decir, el modelo predice que la India (o España) crecerá más que Suiza, simplemente porque su población es mayor.
[32628] Esta predicción no parece ser validada por los datos, puesto que para el periodo posterior a la Segunda Guerra Mundial los datos de un número bastante elevado de países indican que las tasas de crecimiento per cápita no están correlacionadas ni positiva ni negativamente con el tamaño de la población del país (véanse Bakus, Kehoe y Kehoe (1992) y Kremer (1993), que efectúan un estudio sobre la existencia de estos efectos de escala).
[32629] Una posible explicación tras el fracaso empírico de la hipótesis de los efectos de escala es que la unidad relevante no es un país.
[32631] De acuerdo con el modelo, la unidad de escala relevante sería el área en la cual un determinado tipo de conocimiento se desborda.
[32632] Es decir, cuando el conocimiento de algún tipo se expande en una región de la China, éste no tiene por qué expandirse por toda la geografía china y solamente por la geografía china.
[32633] Podría expandirse solamente a algunas regiones colindantes al lugar de origen de la idea.
[32634] De la misma manera, el conocimiento desarrollado en Mónaco no sólo se expande a través de Mónaco sino que puede llegar a Francia, Italia o a toda la comunidad europea.
[32635] En otras palabras, la unidad política tiene poco que ver con la unidad económica relevante y esto podría explicar por qué, en los datos, hay poca relación entre la población de las determinadas unidades políticas (los países) y las tasas de crecimiento.
[32636] Otra consecuencia importante del efecto de escala consiste en que, si la población xxx crece a lo largo del tiempo, también lo hará la tasa de crecimiento del producto per cápita.
[32637] En otras palabras, no habrá un estado estacionario, dado que la tasa de crecimiento de la economía no será constante sino creciente.
[32638] Ésta es, posiblemente, la razón por la que el supuesto de ausencia de crecimiento de la población se introduce a menudo en este tipo de modelos.
[32639] No hace falta decir que la tasa de crecimiento de las economías del siglo XX no ha ido aumentando a lo largo del tiempo a pesar de que la población ha sido cada vez mayor.
[32641] Una forma de desprenderse de estos efectos de escala es suponer que el volumen de conocimientos depende, en alguna medida, del stock medio de capital xxx.
[32642] Obsérvese que si se sustituye xxx por xxx en (7.1) llegaremos a la conclusión de que la productividad marginal del capital, y por tanto la tasa de crecimiento, son independientes de xxx.
[32643] La solución del planificador y sus implicaciones de política económica 
[32644] A diferencia de las familias, un planificador central confrontado con una función de producción de la forma (7.1) tendrá en cuenta el hecho de que, cuando una empresa invierte, aumenta la cantidad de conocimientos a disposición de todas las demás empresas de la economía.
[32645] Por este motivo, al calcular las condiciones de primer orden de su problema, efectuará la derivada respecto de la totalidad del capital (incluyendo la parte que no utiliza la empresa).
[32646] En otras palabras, el planificador maximizará la función de utilidad (5.2) sujeto a (7.6) y a xxx.
[32647] Sustituyendo (7.12) en (7.6), finalmente obtendremos el siguiente Hamiltoniano: xxx.
[32648] Si a continuación, calculamos las condiciones de primer orden, concluiremos que la tasa de crecimiento de una economía regida por un planificador viene dada por: xxx.
[32649] La única diferencia entre la tasa de crecimiento competitivo (7.11) y (7.14) es que en la primera el parámetro xxx está multiplicando a xxx.
[32651] Esto se debe a que el planificador internaliza la externalidad, es decir, toma en consideración el hecho de que cuando una persona invierte una unidad adicional de capitaL aumenta el volumen agregado de conocimientos, lo que hace aumentar la productividad del resto de los agentes de la economía.
[32652] Las familias productoras, por el contrario, no internalizan esta externalidad.
[32653] En términos de política económica, la solución a la que llega el planificador social puede ser alcanzada en una economía descentralizada mediante la introducción de una desgravación a la inversión, con un tipo xxx y financiada con un impuesto de suma fija.
[32654] Una forma alternativa de situarse en el punto óptimo consiste en la imposición de un subsidio a la producción, con un tipo xxx.
[32655] En este caso, también, el subsidio debería ser financiado con un impuesto de suma fija.
[32656] Una extensión interesante del modelo de Romer para una economía abierta lo proporcionó Young (1991).
[32657] En su planteamiento, el mundo se divide en dos países, uno desarrollado (el norte) y otro en vías de desarrollo (el sur).
[32658] También existen dos bienes, uno de alta tecnología y otro de baja tecnología.
[32659] Cuando se abre el comercio entre los dos países, el norte se especializa (siguiendo el modelo ricardiano de la ventaja comparativa) en los productos de alta tecnología y el sur en los de tecnología inferior.
[32661] La relevancia empírica de los fenómenos de aprendizaje por la práctica y el desbordamiento del conocimiento 
[32662] Hemos dejado para el final de este capítulo la cuestión de la importancia empírica de los fenómenos de aprendizaje por la práctica y de desbordamiento del conocimiento.
[32663] Arrow (1962) cita evidencia empírica procedente de la industria aeronáutica para demostrar que la productividad en la producción de aviones se incrementa al aumentar el número de unidades producidas por la empresa.
[32664] Searle (1945) y Rapping (1965) aportan nuevas pruebas utilizando datos de la producción de buques de carga -específicamente de los astilleros Liberty Shipyards-durante la Segunda Guerra Mundial.
[32665] Desde 1941 hasta 1944, estos astilleros produjeron un total de 2.458 buques, todos con el mismo diseño.
[32666] Los autores representaron en un gráfico la cantidad de horas necesaria para producir un barco en relación con el número de barcos construidos hasta la fecha.
[32667] Los resultados fueron asombrosos: la reducción de las horas de trabajo necesarias por buque oscilaba entre el 12 y el 24 por ciento cada vez que se doblaba la producción.
[32668] Con respecto a la importancia de los fenómenos de desbordamiento del conocimiento, Caballero y Lyons (1992) han mostrado que, para la industria manufacturera de los Estados Unidos y de Europa, el valor de las externalidades de conocimiento es significativamente positivo, pero su valor quizás no sea lo suficientemente grande como para generar crecimiento endógeno en el modelo de Romer (en la especificación Cobb-Douglas, el exponente del capital agregado debería estar alrededor del 7 por ciento).
[32669] Caballero y Jaffe (1993) llegaron a conclusiones similares.
[32671] EL modelo de las familias productoras 
[32672] En el capítulo 5 apuntamos la idea de que considerar el trabajo como capital humano (y, en consecuencia, convertir el trabajo en un factor susceptible de ser acumulado) constituía una forma de introducir la tecnología AK.
[32673] Sin embargo, uno de los supuestos implícitos en nuestro argumento se apoyaba en el hecho de que el capital físico y el humano eran bienes similares, en el sentido de que ambos podían ser acumulados a partir de las unidades de producción detraídas del consumo o, lo que es lo mismo, ambos eran producidos con la misma tecnología.
[32674] Sin embargo, se podría argumentar que el capital físico y el humano son bienes con unas propiedades enteramente diferenciadas.
[32675] En particular, la función de producción de capital físico es distinta de la de capital humano (es decir, del proceso de educación).
[32676] Así, por ejemplo, en la literatura del mercado laboral se destaca el hecho de que el proceso de educación requiere relativamente más capital humano que la producción de capital físico.
[32677] En otras palabras, la educación es más intensiva en capital humano.
[32678] Otra distinción fundamental entre capital físico y humano es que para acumular capital humano el individuo debe emplear su propio  tiempo, mientras que el capital físico se puede comprar, regalar o heredar sin necesidad de un esfuerzo propio.
[32679] Uzawa (1965) y Lucas (1988) explotaron esta idea para construir un modelo de dos sectores con crecimiento endógeno.
[32681] Este producto final puede ser consumido o transformado en capital físico.
[32682] En el otro sector, la producción y acumulación de capital humano se hace ex profeso a partir de capital físico y humano.
[32683] Se considera, además, que la tecnología para la obtención de capital humano es diferente de la que se emplea para la obtención de la producción final.
[32684] Si denotamos por xxx la fracción del tiempo que los individuos trabajan en el sector de bienes finales, por xxx la medida de la cualificación media de los trabajadores, y por xxx el número de personas, el trabajo total efectivo o ajustado por su calidad empleado en el sector de bienes finales es igual a xxx.
[32685] Uzawa (1965) parte de una función de producción Cobb-Douglas en la que los factores de producción son el capital físico y el humano, de modo que la producción viene dada por: xxx.
[32686] Esta función de producción presenta rendimientos constantes de escala respecto del capital físico y el humano, ya que doblar xxx y xxx conlleva doblar la producción.
[32687] Lucas (1988) extiende (8.1) para recoger una externalidad del stock medio de capital humano.
[32688] Esta externalidad es un medio de reflejar el hecho de que la gente es más productiva cuando está rodeada de individuos inteligentes y productivos.
[32689] Si indicamos por xxx el capital humano medio de la fuerza de trabajo, la función de producción se transforma en: xxx en la que xxx recoge el valor de la externalidad del stock medio de capital humano.
[32691] Lucas la introduce para obtener otros resultados sobre movimientos de la población que en este momento no nos interesan demasiado.
[32692] La restricción de acumulación del capital físico es, en este caso: xxx siendo xxx la tasa de depreciación constante del capital físico.
[32693] Si escribimos la ecuación anterior en términos per cápita podemos concluir que xxx.
[32694] La razón por la cual los individuos no desean dedicar todo su tiempo a trabajar en la producción de bienes finales (recuérdese que no hemos considerado la existencia de tiempo de ocio) es que desean dedicar parte de su tiempo a aumentar su capital humano, es decir, a estudiar.
[32695] Uzawa y Lucas suponen que en la producción de capital humano se emplea el capital humano como único factor de producción y, además, que existen rendimientos constantes de escala.
[32696] Podemos expresar esta idea formalmente (y en términos per cápita) de la siguiente manera: xxx.
[32697] La ecuación (8.5) indica, pues, que el aumento neto del stock de capital humano per cápita es igual a la producción de capital humano menos la depreciación, que hemos denotado por xxx.
[32698] Como es habitual, la tasa efectiva de depreciación de las variables en términos per cápita incluye el término xxx, que recoge el hecho de que los aumentos de la población reducen, ceteris paribus , la cantidad de capital humano disponible por persona.
[32699] La producción de capital viene dada, a su vez, por xxx.
[32701] La función de producción es lineal en éste.
[32702] Este supuesto extremo es una versión límite del supuesto que el sector educativo es relativamente más intensivo en capital humano que el sector de bienes finales .
[32703] La constante xxx es el parámetro de productividad del sector educativo.
[32704] Los individuos eligen la trayectoria temporal del consumo, xxx, y la fracción de su tiempo que dedican a cada uno de los sectores, xxx y xxx, mediante la maximización de la función de utilidad intertemporal (5.2), sujeto a las dos restricciones (8.4) y (8.5).
[32705] Al hacer esto, los individuos toman como dados el valor de los stocks de capital iniciales xxx y xxx, y el stock de capital medio de toda la economía xxx.
[32706] EL comportamiento del estado estacionario 
[32707] La diferencia fundamental entre este análisis y los que hemos realizado hasta este punto reside en el hecho de que ahora contamos con dos restricciones dinámicas y dos  variables de control (xxx y xxx) en lugar de una.
[32708] Por este motivo, al construir el Hamiltoniano deberemos incluir dos precios implícitos: xxx siendo xxx y xxx, precisamente, los precios implícitos de la inversión en capital físico y en capital humano, respectivamente.
[32709] Las cinco condiciones de primer orden que surgen de este problema son: xxx.
[32711] A continuación, las ecuaciones (8.9) y (8.10) incluyen las condiciones de primer orden con respecto a las variables de estado, xxx y xxx, que, como es habitual, requieren que la variación del precio implícito a lo largo del tiempo con signo menos sea igual a la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado que corresponda.
[32712] La ecuación (8.11) recoge las dos condiciones de transversalidad .
[32713] Para que haya una consistencia interna, debe cumplirse que xxx (el capital humano medio) sea igual a xxx (que también es el capital humano medio), es decir: xxx.
[32714] Con el propósito de simplificar el álgebra, vamos a suponer que las tasas de depreciación de los dos tipos de capital son idénticas, xxx.
[32715] Así, podemos obtener la ecuación dinámica del consumo tomando logaritmos y derivadas de (8.7) y utilizando (8.9) y (8.12), con el siguiente resultado: xxx.
[32716] Si dividimos la restricción dinámica de la acumulación del capital físico por xxx, obtenemos la ecuación dinámica del capital xxx.
[32717] Utilizando (8.13), el término de la derecha de esta expresión es igual a xxx.
[32718] Las tasas de crecimiento estacionarias de xxx y xxx son, por definición, constantes.
[32719] Si pasamos todas las constantes al miembro de la derecha y tomamos logaritmos y derivadas respecto del tiempo, llegaremos a la conclusión de que xxx.
[32721] Si queremos ir más allá y encontrar la relación que existe entre xxx basta con partir de la ecuación (8.13) y llevar todos los términos constantes al miembro de la derecha, obteniéndose de esta forma que xxx.
[32722] Dado que el valor de xxx está entre cero y uno (recordemos que xxx es la fracción de tiempo que los individuos dedican a trabajar en lugar de estudiar) su tasa de crecimiento en estado estacionario debe valer cero.
[32723] Tomando logaritmos y derivando con respecto al tiempo (8.15) se llega a xxx que es la ecuación que relaciona la tasa de crecimiento en el estado estacionario del capital físico y el humano.
[32724] Nótese que si no existiesen externalidades xxx la tasa de crecimiento del capital humano coincidiría con la del capital físico.
[32725] En presencia de externalidades, sin embargo, la tasa de crecimiento de xxx es menor que la de xxx.
[32726] Si tomamos de nuevo logaritmos y derivadas, en este caso de la producción, y aplicamos a continuación el resultado obtenido en (8.16), podremos concluir que xxx.
[32727] En consecuencia, la producción per cápita crece a la misma tasa que el capital físico y que el consumo, xxx.
[32728] Para seguir adelante es preciso hallar el valor de xxx (el de xxx) como función de los parámetros del modelo.
[32729] Podemos acudir a la ecuación (8.8), que relaciona el cociente de los precios implícitos xxx con la productividad marginal de xxx: xxx.
[32731] Para hallar la expresión de xxx, basta con reescribir (8.7) como xxx.
[32732] Y, para obtener la expresión de xxx, debemos reescribir (8.8) como xxx y sustituir en (8.10), con el siguiente resultado: xxx.
[32733] Es decir, el precio implícito del capital humano disminuye a una tasa constante igual a xxx (recordemos que xxx es el parámetro de productividad de la tecnología de educación).
[32734] Sustituyendo (8.20) y (8.21) en (8.19), llegamos a la conclusión de que xxx.
[32735] Llegados a este punto, podemos utilizar la igualdad xxx y la ecuación (8.16) para calcular la tasa de equilibrio del capital humano, xxx que es una función de los parámetros del modelo.
[32736] Empleando nuevamente la tasa de crecimiento del consumo, (8.16), obtendremos la del capital físico, el consumo y la producción: xxx.
[32737] Vemos que, en ausencia de externalidades, xxx, las tasas de crecimiento sonxxx.
[32738] Es interesante observar que esta expresión es similar a la tasa de crecimiento que postula el modelo AK.
[32739] La única diferencia es que el parámetro de productividad relevante para el crecimiento es xxx (la productividad del sector educativo) en lugar de xxx (la productividad del sector de bienes finales).
[32741] Para calcular la fracción de tiempo utilizado en la educación en el estado estacionario es necesario reagrupar términos en (8.5), de modo que: xxx.
[32742] Si se impone a los parámetros las restricciones habituales de xxx nos enfrentamos a un problema que ya conocemos: la utilidad puede llegar a ser infinita.
[32743] Así pues, es necesario acotar el valor de la utilidad, lo cual exige que xxx.
[32744] La dinámica de la transición 
[32745] A diferencia del modelo AK en el que la economía se encontraba en estado estacionario en todo momento, en este modelo hay un periodo de transición.
[32746] Sin embargo, esta dinámica de transición es tan complicada que el propio Lucas la dejó sin investigar en su artículo original.
[32747] En los últimos años varios investigadores han conseguido estudiar el comportamiento cuantitativo y cualitativo del modelo de Uzawa-Lucas durante la transición.
[32748] Así, a título de ejemplo, Caballé y Santos (1993) demostraron que, en ausencia de externalidades, el modelo presenta una trayectoria estable hacia el punto de silla.
[32749] No obstante, debido a la complejidad de los argumentos matemáticos que empleaban, el comportamiento cualitativo de las diferentes variables siguió sin ser explicado.
[32751] Faig (1991), por un lado, y Barro y Sala-i-Martin (1994, capítulo 5) por otro, emplean argumentos gráficos para analizar la transición.
[32752] Sin embargo, su análisis sólo es válido cuando no existen externalidades.
[32753] Mulligan y Sala-i-Martin (1993) utilizan un método numérico llamado el "método de eliminación temporal " para calcular el comportamiento exacto de las diferentes variables a lo largo de la transición.
[32754] Este método tiene la ventaja de que puede aplicarse al modelo de Uzawa-Lucas con o sin externalidades, así como a modelos aún más complicados (como por ejemplo aquel en el que para la producción de capital humano también es preciso capital físico).
[32755] La desventaja de los métodos numéricos es que sólo es posible obtener un único resultado para cada conjunto de parámetros estudiados.
[32756] Con la intención de proporcionar una cierta intuición sobre los factores de los que depende la transición de este modelo vamos a considerar el caso en el que no existen externalidades.
[32757] Se demostró anteriormente que en el caso en que xxx, las tasas de crecimiento del capital físico y el humano en el estado estacionario coinciden, por lo que la relación de los dos tipos de capital, xxx, es constante.
[32758] La dinámica de la transición surge si los stocks de capital iniciales de xxx y xxx son tales que su relación xxx es diferente de xxx.
[32759] Dicho de otro modo, en este modelo, la transición surge debido a la existencia de una descompensación entre los dos sectores, no debido a que el valor absoluto de la renta sea diferente al de estado estacionario.
[32761] La de una economía con una relación xxx alta estará por debajo de la del estado estacionario (véase Mulligan y Sala-i-Martin (1993)).
[32762] Por esta razón, una economía que perdiese una gran cantidad de población en relación con su dotación de capital físico (motivada, por ejemplo, por una guerra de neutrinos en la que muriera una gran cantidad de gente, pero que afectara relativamente poco al stock de capital) tendería a crecer más lentamente.
[32763] Por el contrario, si una economía pierde una gran cantidad de capital físico en relación con su capital humano, la tasa de crecimiento durante la reconstrucción será alta.
[32764] Podemos pensar en los casos de Alemania y Japón después de la Segunda Guerra Mundial como situaciones de este tipo.
[32765] La economía de planificador central 
[32766] En una sección anterior se indicó que la diferencia entre el equilibrio del planificador y el del mercado reside en que el primero internaliza la externalidad, es decir, toma en consideración el hecho de que cuando alguien aumenta su stock de capital humano, también incrementa el stock medio de capital de la economía xxx.
[32767] Esto afecta a la productividad de todos los demás miembros de la economía a través del término xxx.
[32768] A diferencia de las familias productoras, el planificador tendrá en cuenta este efecto subsidiario.
[32769] De este modo, al calcular el planificador las condiciones de primer orden con respecto a xxx, también incluirá la derivada de xxx.
[32771] La tasa final de crecimiento del capital humano vendrá dada por xxx.
[32772] Obsérvese que, tal como era de esperar, en ausencia de externalidades la tasa de crecimiento coincide con la que se obtiene en una economía competitiva, xxx.
[32773] Es decir, si no existen externalidades el equilibrio competitivo es óptimo, ya que los incentivos privados y sociales a invertir en educación coinciden.
[32774] Cuando la externalidad es positiva, por otra parte, la tasa óptima de crecimiento es siempre mayor que la tasa de crecimiento competitiva.
[32775] EL motivo de esta discrepancia proviene del hecho de que el rendimiento privado de invertir en enseñanza es inferior al rendimiento social, por lo que, en una economía de mercado, el público no invertirá en capital humano tanto como sería socialmente deseable.
[32776] Stokey (1991) proporciona una extensión interesante de este modelo para una economía abierta.
[32777] En su modelo, gente dotada con diferentes cantidades de capital humano produce diferentes tipos de bienes.
[32778] EL resultado es que el libre comercio podría ser perjudicial para los países pobres, ya que podría desalentar la inversión en capital humano.
[32779] Por último, Stokey utiliza este marco para analizar las repercusiones de la apertura de una economía para el comercio internacional.
[32781] EL supuesto de que este sector es más intensivo en capital humano que el de bienes finales requiere a xxx.
[32782] Obsérvese entonces que Uzawa y Lucas han introducido el supuesto extremo de que a xxx.
[32783] Hay que decir que el supuesto xxx es crucial para obtener fórmulas explícitas de las tasas de crecimiento en estado estacionario.
[32784] Véase Mulligan y Sala-i-Martin (1993) para un tratamiento más general de este tipo de modelos.
[32785] Este resultado se apoya de una manera crucial en el supuesto de que el sector educativo no utiliza capital físico.
[32786] En un modelo más general en el que ambos sectores utilizan ambos tipos de capital las productividades de los dos sectores afectan la tasa de crecimiento estacionaria.
[32787] La importancia de los dos parámetros de productividad depende del tamaño relativo de las participaciones de los dos tipos de capital, xxx y xxx, en la producción.
[32788] Véase Mulligan y Sala-i-Martin (1993) para una discusión más amplia de esta cuestión
[32789] MODELOS DE CRECIMIENTO CON I+D: LA EXPANSIÓN DEL NUMERO DE PRODUCTOS 
[32791] En los modelos de crecimiento endógeno descritos hasta el momento se señala como principal motor del crecimiento la ausencia de rendimientos decrecientes del capital.
[32792] En el capítulo 3 señalamos, por otra parte, que el modelo neoclásico de Ramsey era consistente con la existencia de una tasa de crecimiento positiva a largo plazo únicamente si la tecnología de la economía crecía a una tasa exógena.
[32793] En el modelo de Romer (1986) el progreso tecnológico estaba concebido como un subproducto de la inversión, a través del aprendizaje por la práctica.
[32794] Por esta razón, en este modelo, aunque la tasa de avance técnico se modifique en respuesta al comportamiento de los agentes, no es aún el resultado de una actividad expresa en este sentido.
[32795] Una parte importante de la literatura del crecimiento endógeno se ocupa de los determinantes de la tasa de progreso técnico y los relaciona con la tasa agregada de crecimiento de la economía.
[32796] El elemento común de todos esos modelos es la existencia de empresas dedicadas a la investigación y el desarrollo (I+D).
[32797] En este tipo de estudios, para transformar la endogeneización de la tecnología en un problema tratable, se han utilizado dos enfoques fundamentales.
[32798] Un primer tipo de modelización considera que el progreso técnico toma la forma de un aumento en el número de productos o bienes de capital disponibles como factores de producción.
[32799] La diferencia entre los Estados Unidos y Zimbabwe, argumentaría este enfoque, no es que los Estados Unidos utilicen más picos y palas para producir el mismo producto agrícola, sino que utilizan picos, palas, tractores, fertilizantes, mangueras, canales, etc.
[32801] El supuesto fundamental de este tipo de modelos es que no existen rendimientos decrecientes en el número de bienes de capital, por lo que el modelo es capaz de generar un crecimiento económico sostenido, ya que las empresas de I+D siempre desean descubrir nuevos productos.
[32802] Se pueden hallar ejemplos de este tipo de modelos en Romer (1987,1990), Grossman y Helpman (1991, capítulo 4), y Barro y Sala-i-Martin (1994, capítulo 6).
[32803] El segundo enfoque consiste en considerar que el progreso técnico se cristaliza en el aumento de la calidad  de un número limitado de productos.
[32804] Es decir, el progreso tecnológico experimentado por las economías modernas del siglo XX ha sido en gran medida reflejado en una superación paulatina de la calidad de los diferentes productos.
[32805] Por ejemplo, en el mundo de la reproducción del sonido, se pasó sucesivamente del gramófono al tocadiscos, al audiocasete, al disco compacto.
[32806] Lo mismo se puede decir de los mundos del transporte, de la informática, de las finanzas, de la ingeniería genética, etc.
[32807] Un aspecto fundamental de los llamados modelos de "escaleras de calidad" ("  quality ladders ") es lo que Schumpeter llamó la destrucción creativa: cuando una empresa supera la calidad de un cierto producto (crea) hace que la generación anterior sea obsoleta (destruye) y, por lo tanto, se apropia del mercado de ese tipo particular de bienes.
[32808] De hecho, el único objetivo de las empresas que invierten en I+D es el de apropiarse de los mercados de las empresas que ya están instaladas.
[32809] Éstas, a su vez, invierten en I+D para mantener su liderazgo tecnológico, así como su propio mercado.
[32811] Para modelos de escaleras de calidad y crecimiento, véase por ejemplo Aghion y Howitt (1992), Grossman y Helpman (1991, capítulo 4) y Barro y Sala-i-Martin (1994, capítulo 7).
[32812] La dificultad matemática que envuelve a este tipo de modelos es elevada, por lo que no los formalizaremos en este libro.
[32813] En este capítulo describiremos una versión simplificada de uno de los modelos de aumento del número de bienes, concretamente el de Romer (1990).
[32814] En esta clase de economías existen tres tipos de agentes.
[32815] En primer lugar los productores de bienes finales, que utilizan en su actividad una tecnología que emplea trabajo y una serie de bienes de capital que deben alquilar a las empresas que los han desarrollado o inventado.
[32816] En segundo lugar se encuentran los propios inventores de los bienes de capital.
[32817] Éstos invierten una cierta cantidad de recursos (I+D) para crear nuevos productos y, una vez los han desarrollado, poseen una patente que les da un monopolio perpetuo para su producción y alquiler.
[32818] Por último, nos encontramos con los consumidores, que eligen la cantidad que desean consumir y ahorrar para maximizar la función de utilidad habitual, sujeta a una restricción temporal intertemporal.
[32819] A continuación vamos a describir con mayor detalle el comportamiento de estos tres conjuntos de agentes.
[32821] Los productores de bienes finales se enfrentan a una función de producción que presenta la siguiente forma: xxx siendo xxx los bienes intermedios de capital, xxx es un parámetro tecnológico y xxx es el trabajo.
[32822] En otras palabras, la producción se obtiene a partir de trabajo y de un conjunto xxx de factores xxx (notemos que xxx del tiempo).
[32823] Spence (1976) y Dixit y Stiglitz (1977) plantearon modelos estáticos en los que la utilidad dependía del número de bienes de consumo de la economía, en una formulación similar a (9.1).
[32824] Ethier (1982) reinterpretó la función de utilidad en términos de la producción de un único bien de consumo que se obtenía a partir de varios factores de producción.
[32825] Éste es el enfoque que hemos escogido en nuestro modelo dinámico.
[32826] El progreso tecnológico se presenta bajo la forma de un aumento constante del número de inputs, xxx.
[32827] El hecho de que la función (9.1) sea aditivamente separable comporta que los nuevos bienes de capital son diferentes a los anteriores, aunque no sean ni mejores ni peores que éstos.
[32828] En particular, los bienes antiguos nunca se quedan obsoletos.
[32829] Un aspecto importante de (9.1) es que presenta rendimientos decrecientes respecto a cada bien de capital xxx, aunque presenta rendimientos constantes del capital respecto de la cantidad total de estos bienes xxx.
[32831] En este caso la producción puede escribirse como: xxx.
[32832] Para un valor de xxx dado, la ecuación (9.2) implica que la producción exhibe rendimientos constantes respecto a xxx y xxx.
[32833] Si lo que tomamos como dado es xxx y xxx, la ecuación (9.2) indica que la producción aumenta al aumentar el número de bienes de capital.
[32834] Por último, tomando xxx como dado, la producción presenta rendimientos decrecientes respecto de xxx si el aumento de xxx procede de un aumento en xxx, pero esto no es así en el caso de que provenga de un aumento en xxx.
[32835] Y es precisamente esta constancia de los rendimientos de xxx lo que permite a la economía generar tasas de crecimiento positivas para siempre (en este sentido, este modelo no es más que un modelo xxx, en el cual el bien que se acumula es el número de bienes de capital xxx).
[32836] Las empresas contratan el trabajo en un mercado competitivo y alquilan cada uno de los xxx tipos de capital xxx al precio unitario xxx.
[32837] Con el concurso de estos factores de producción, combinados con trabajo de acuerdo con la tecnología (9.1), obtienen el producto xxx, que venden a un precio que, por normalización, supondremos igual a uno.
[32838] Así pues, su comportamiento se reduce a maximizar el valor presente de todos los flujos de caja que percibirán en el futuro: xxx en el cual xxx viene dado por (9.1).
[32839] Dado que este problema no incorpora elementos de tipo intertemporal (no existen costes de ajuste ni ningún bien acumulable), la maximización de (9.3) es equivalente a la maximización de los beneficios corrientes en cada momento del tiempo:xxx.
[32841] Puesto que suponemos que no existe crecimiento de la población, las condiciones de primer orden del bien xxx se pueden escribir como xxx lo que constituye la función de demanda del bien xxx.
[32842] Según esta función, la demanda de xxx está negativamente relacionada con el precio unitario del alquiler xxx, donde la elasticidad de demanda viene dada por xxx.
[32843] Las empresas de I+D y la creación de nuevos bienes 
[32844] Para crear nuevos bienes de capital, las empresas de I+D deben invertir recursos.
[32845] Supondremos que esta inversión consiste en una cantidad constante, que se detrae de la producción, xxx.
[32846] Una vez que el bien ha sido desarrollado, su producción se obtiene con un coste marginal constante, xxx, y es alquilado al precio xxx a los productores de bienes finales: la sociedad otorga a las empresas que se dedican a la investigación un monopolio perpetuo 
[32847] sobre los bienes que desarrollen.
[32848] Ésta es la razón por la que están en situación de cargar un precio del alquiler por encima de los costes marginales, lo que les permite recuperar sus inversiones iniciales de I+D.
[32849] En consecuencia, deben elegir el precio del alquiler xxx y la cantidad a producir de los bienes que han desarrollado para maximizar sus beneficios, teniendo en cuenta que la demanda de los bienes por ellos producidos viene dada por (9.4) xxx sujeto a las restricciones xxx y (9.4).
[32851] Hacemos notar que (9.5) incluye las rentas de alquiler entre el momento inicial e infinito, descontadas al tipo de interés real xxx (en equilibrio, la tasa de interés xxx es constante); también incorpora los costes marginales futuros de producir cantidades crecientes de xxx es el aumento de la producción de xxx, el coste marginal de producir la cantidad inicial xxx y los costes fijos de la inversión en I+D, xxx.
[32852] Una vez establecido esto, ya estamos en condiciones de plantear el Hamiltoniano de este problema xxx en el cual xxx es el multiplicador dinámico y xxx ha sido reemplazado por su valor, tal como aparece en (9.4).
[32853] Las condiciones de primer orden son, entonces, xxx junto con la condición de transversalidad xxx.
[32854] Obsérvese que, una vez que se han tomado logaritmos y derivadas, la ecuación (9.7) se transforma en xxx.
[32855] Empleando esta relación y (9.7), podemos escribir (9.8) como xxx, que muestra la relación existente entre xxx y el tipo real de interés.
[32856] De todos modos, conviene reescribir esta relación de la siguiente forma: xxx.
[32857] Un aspecto interesante de (9.10) es que xxx es una función de una serie de parámetros y de xxx, el tipo de interés de la economía, pero, en particular, es independiente de xxx.
[32858] De este modo, las cantidades producidas de todos los bienes xxx serán las mismas, es decir, xxx para todo xxx.
[32859] Además, dado que el tipo de interés de equilibrio, al transcurrir el tiempo acabará siendo constante, xxx también se hará constante.
[32861] Cuando se descubra un nuevo bien, se producirá la cantidad xxx de forma instantánea, y no se volverá a producir nunca más .
[32862] Para obtener el precio óptimo del alquiler debemos sustituir xxx en (9.4) xxx.
[32863] Esta ecuación puede ser interpretada de la siguiente forma: el valor de los activos de una empresa que invierte en I+D y descubre una nueva variedad de bienes es igual al valor presente de todos los ingresos futuros procedentes del alquiler de éstos, xxx.
[32864] La ecuación (9.11) indica, pues, que el precio de tales activos es un margen constante sobre el coste marginal, siendo el margen una función de la elasticidad de la demanda (este resultado proviene del supuesto de la elasticidad constante de la demanda, derivado a partir de (9.4)).
[32865] Obsérvese que xxx, es independiente de xxx, por lo que, en el mercado, el valor del alquiler de todos los bienes será el mismo.
[32866] EL supuesto de la libre entrada en las actividades de I+D implica que el coste de invertir en I+D debe ser igual al valor presente de todos los beneficios futuros, es decir, xxx.
[32867] Puesto que xxx debe ser igual a xxx en todos los periodos, e xxx vale cero para todo xxx, podemos calcular fácilmente el valor presente de la anterior expresión, de modo que xxx.
[32868] A continuación, para hallar la relación entre xxx y los parámetros del modelo, tomaremos el valor del precio del alquiler (9.11) y (9.13): xxx.
[32869] La ecuación (9.14) nos indica que, en equilibrio, la cantidad producida de cada bien es constante e igual para todos los bienes.
[32871] Los consumidores 
[32872] Para cerrar el modelo es preciso especificar el comportamiento temporal de los consumidores.
[32873] Éstos, en primer lugar tienen acceso a un mercado de activos que genera un tipo de interés xxx.
[32874] Por otra parte, reciben ingresos procedentes del trabajo y de los activos de los que son propietarios y deben elegir entre consumir y ahorrar para maximizar una función de utilidad que tiene la forma habitual, enfrentándose, asimismo, a la restricción usual.
[32875] Dado que este problema ha sido resuelto en capítulos anteriores,no lo reproduciremos aquí.
[32876] Sólo recordaremos que la ecuación de Euler resultante es: xxx.
[32877] Si se sustituye (9.15) en (9.16) hallaremos la tasa de crecimiento de la economía: xxx.
[32878] Hacemos notar que la tasa de crecimiento está inversamente relacionada con el coste de las actividades de I+D, xxx.
[32879] También guarda esta relación con el precio de monopolio que cargan las empresas de I+D, xxx (si volvemos a la expresión [9.11], observaremos que xxx es, precisamente, el margen constante que se aplica sobre el coste marginal).
[32881] Por último, es de destacar que la tasa de crecimiento depende de forma positiva del tamaño de la población de la economía, xxx.
[32882] Es decir, este modelo, como el de Romer (1986) que se describió en el capítulo 7, presenta un efecto de escala.
[32883] El motivo es que la tecnología es un bien no rival: el coste de desarrollar un nuevo producto es independiente del número de personas que lo utilicen.
[32884] De este modo, como la proporción de los recursos destinados a la investigación permanece constante, todo incremento de la población lleva aparejado un aumento del ritmo de avance tecnológico.
[32885] Otra diferencia fundamental es que el número de productos para el consumo en los países desarrollados es mayor.
[32886] Es decir, no es que en los Estados Unidos se consuma mucho más cereal que en Gana.
[32887] Lo que sí es cierto es que se consumen cereales, carne, televisores, videojuegos, coches, tocadores de la Señorita Pepis, discos compactos, etc.
[32888] Hay toda una gama de modelos de crecimiento en los que el progreso tecnológico se cristaliza en un aumento del número de productos.
[32889] Estos modelos, al ser formalmente parecidos a los modelos en los que aumenta el número de inputs, no serán formalizados en este texto.
[32891] En este caso los cambios en los salarios reales afectan al coste de las actividades de I+D.
[32892] En particular, a medida que la economía crece, los salarios aumentan y, con ellos, también aumentan los costes de investigación.
[32893] Si no se introducen supuestos adicionales, la economía dejará de crecer ahogada por unos costes de investigación cada vez mayores y unas tasas de rendimiento de I+D cada vez menores.
[32894] El truco introducido por Romer y Grossman y Helpman es el de suponer que hay una externalidad en la tecnología de l+D.
[32895] Para un nivel de salarios dados, se supone que los costes de l+D son menores cuanto mayor sea el número de bienes ya inventados (como si se tratara de una especie de experiencia).
[32896] Este efecto hace que a medida que la economía crece, los costes de investigación se reducen, lo cual tiende a contrarrestar el aumento de salarios.
[32897] En el caso particular de que las dos fuerzas opuestas sean del mismo tamaño, tendremos que los costes de I+D son constantes tal y como ocurre con nuestro modelo, lo que permite generar crecimiento a largo plazo.
[32898] Barro y Sala-i-Martin (1994, capítulo 6) discuten la relación entre modelos en los que los costes de investigación dependen únicamente del trabajo y los que dependen de la totalidad del producto.
[32899] Barro y Sala-i- Martin (1994, capítulo 6) presentan un modelo sencillo en el que en cualquier momento del tiempo el monopolio de producción del bien inventado puede desaparecer con una cierta probabilidad.
[32901] Si la hubiéramos introducido en el modelo, la tasa de inversión bruta debería haber sido positiva para que la cantidad de xxx se mantuviese constante a lo largo del tiempo.