[32010] Este planteamiento del problema se conoce, por razones obvias, como la Economía de Robinson Crusoe.
[32020] La ecuación (1.2) nos indica, pues, que en una economía cerrada, la inversión bruta (suma de la inversión neta xxx, y la depreciación) debe ser igual al ahorro bruto.
[32030] De ahora en adelante vamos a considerar que toda la población está empleada, con lo cual no tendremos en cuenta las cuestiones relativas al desempleo y a la participación de la fuerza de trabajo en la producción.
[32040] De este modo, podemos escribir xxx, donde todas las variables del primer miembro son constantes.
[32050] Su respuesta fue que la tecnología que estos países tenían a su disposición mejoraba a lo largo del tiempo.
[32060] A pesar de su simplicidad, es importante estudiar el modelo AK con un cierto detalle, ya que todos los modelos de crecimiento endógeno entrañan algún tipo de linealidad que les confiere una apariencia análoga al modelo AK.
[32070] De este modo, la función de producción se podría escribir como xxx, siendo xxx el capital privado y xxx los bienes públicos proporcionados por el Estado.
[32080] Este fenómeno puede explicarse mediante la existencia de externalidades en la producción, los llamados efectos desbordamiento: la decisión de cada productor individual afecta positivamente a la producción de todos los demás productores, pero ninguno de ellos toma en consideración este hecho.
[32090] En el capítulo 7 veremos cómo Romer (1986) siguiendo a Arrow (1962) y Sheshinski (1967), utiliza externalidades de capital en la función de producción agregada para generar crecimiento endógeno.
[32100] Este gráfico, además, nos ayudará a entender el motivo por el que la tasa de ahorro e inversión no afecta al crecimiento a largo plazo en los primeros modelos, pero sí lo hace en los segundos.
[32110] "El primer problema que me propongo abordar es éste:
[32120] Esto se debe a que, en este caso, los padres desean alisar el "consumo" de hijos (de una forma análoga a la que desean alisar el consumo de bienes).
[32130] De hecho, podemos considerar a xxx como una depreciación adicional del capital por persona, dado que representa la pérdida de capital per cápita  provocada por el aumento de la población.
[32140] MODELOS CON UNA TASA DE AHORRO CONSTANTE:UNA EXPOSICIÓN GRÁFICA 
[32150] El modelo neoclásico
[32160] Éste viene dado por: xxx.
[32170] Por tanto, la evolución temporal de xxx es paralela a la de xxx.
[32180] Imaginemos ahora que, a partir del estado estacionario, la tasa de ahorro xxx experimenta un aumento repentino y permanente (la razón podría ser, por ejemplo, un cambio en la estructura impositiva del Estado).
[32190] De este modo, la tasa de crecimiento, en términos per cápita, de la economía en el estado estacionario es positiva e igual a xxx.
[32200] En consecuencia, la velocidad de convergencia que predice el modelo se sitúa entre el 0, 042 y el 0, 09.
[32210] Este hecho significa que si las economías se diferenciasen únicamente en la relación inicial entre capital y trabajo, en el mundo real deberíamos observar un crecimiento superior en las economías pobres que en las ricas (en el gráfico 2.1, las diferentes economías se representan por diferentes valores de xxx, aunque se supone que todas ellas poseen el mismo volumen de capital en el estado estacionario, xxx.
[32220] Como ejemplo, pasemos al gráfico 2.2, en el cual dos economías (designadas por xxx, el país pobre y xxx, el país rico) poseen un stock de capital xxx y xxx, respectivamente (siendo xxx).
[32230] La participación del capital que se precisa para que el modelo se ajuste a los datos es sustancialmente mayor que O, 3 y cercano a 0, 75.
[32240] En este modelo, el producto marginal del capital físico y del humano debe ser igual en todos los momentos del tiempo, de modo que xxx.
[32250] El término xxx puede reescribirse como xxx.
[32260] Las funciones instantáneas de utilidad son denominadas en ocasiones funciones de felicidad.
[32270] Por esta razón, la felicidad instantánea de toda la dinastía o la familia es igual a la felicidad de cada individuo multiplicada por el número de individuos de la familia (lo que explica el término xxx de (3.1)).
[32280] Teniendo en cuenta que, en este modelo, el ahorro total es igual a la producción total per cápita, xxx, menos el consumo agregado C, la restricción presupuestaria se puede escribir de la siguiente forma: xxx.
[32290] El segundo miembro de (3.3) está expresado en términos per cápita, mientras que el primero todavía no.
[32300] Como veremos posteriormente, el consumo en el estado estacionario es constante.
[32310] El miembro de la izquierda recoge el beneficio o rendimiento que proporciona el consumo; la tasa de descuento indica el aumento de la utilidad obtenido por consumir en el presente, ya que no olvidemos que el individuo otorga más utilidad a su propio consumo que al de sus descendientes.
[32320] La ecuación (3.12) recoge la condición de transversalidad.
[32330] Antes de estudiar esta dinámica, vamos a detenernos en mostrar cómo estas ecuaciones dinámicas son también aplicables en dos contextos diferentes: una economía con mercados competitivos y una economía dirigida por un planificador.
[32340] Esto también es cierto en el caso inverso: si xxx es negativo, el consumidor se da cuenta de que su consumo futuro será menor que el presente; puesto que desea tener una trayectoria de consumo lisa, estará dispuesto a intercambiar parte de su consumo presente por su consumo futuro.
[32350] Las dos definiciones más extendidas de progreso técnico neutral o insesgado se deben a Hicks y Harrod, respectivamente.
[32360] Por simetría, podemos considerar el caso del progreso tecnológico "potenciador del capital", es decir, la función de producción xxx.
[32370] Los economistas denominan a este fenómeno "progreso técnico incorporado", dado que se encuentra "incorporado" en el propio capital.
[32380] Una manera relativamente simple de resolver esta cuestión consiste en postular la existencia de una función de producción en la que no se producen avances tecnológicos xxx, y una función de acumulación con la siguiente expresión: xxx, en la cual se cumple que xxx, siendo xxx una medida del capital agregado de la economía.
[32390] Los individuos maximizan (4.3) sujeto a (4.4), tomando xxx como dado.
[32400] La importancia de la incorporación del progreso técnico para los modelos de ciclos económicos de origen real se puede apreciar a partir del hecho de que una perturbación incorporada afecta a la productividad marginal del capital, pero no  afecta a la productividad marginal del trabajo ni a la oferta de productos del periodo.
[32410] La inversión bruta, a su vez, es igual al aumento neto del stock de capital más la depreciación total.
[32420] Para entender esta ecuación de forma intuitiva, la reescribimos de la siguiente forma: xxx.
[32430] La ecuación (5.6) nos muestra que el precio implícito xxx crece a una tasa constante igual a xxx.
[32440] Así pues, para que esta expresión se aproxime a cero cuando xxx tiende a infinito, debe cumplirse que xxx.
[32450] Dado que xxx, el segundo término del corchete tiende a cero.
[32460] En consecuencia, la tasa de crecimiento no estará relacionada con la renta (ni negativamente ni de ninguna otra forma).
[32470] Es posible demostrar que los resultados que acabamos de derivar coinciden con los resultados que se obtendrían en un contexto en el que existen mercados competitivos en los que las familias, por un lado, adquieren el producto y, por otro, venden los factores de producción a las empresas.
[32480] Si sustituimos este resultado en (5.17), y teniendo en cuenta que xxx, llegamos a la restricción presupuestaria agregada incluida en (5.8).
[32490] Supondremos que los dos factores, xxx y xxx , pueden ser acumulados detrayendo recursos para el consumo, mediante la siguiente relación: xxx siendo xxx y xxx las tasas de depreciación del capital físico y el humano, respectivamente.
[32500] De este modo, la función de producción presenta rendimientos constantes de escala, pero existen rendimientos decrecientes de cada uno de los factores.
[32510] Supondremos que cada individuo representa una parte muy reducida del tamaño de la economía, de forma que toma el gasto público como dado.
[32520] EL Hamiltoniano será xxx y las condiciones de primer orden que obtenemos son: xxx.
[32530] En consecuencia, y tal como sucedía en el modelo AK, el modelo de Barro (1990) no presenta ninguna forma de transición dinámica.
[32540] Pero, dando un paso más, nos podemos plantear cuál es la relación existente entre el tamaño del Estado y la tasa de crecimiento.
[32550] Figura 6.1 
[32560] La razón intuitiva que explica esta diferencia es que el comportamiento del planificador irá más allá del de los agentes y tomará en consideración los efectos de la inversión privada sobre los ingresos públicos que, a su vez, afectan al resto de los agentes individuales.
[32570] El Hamiltoniano de este problema es: xxx.
[32580] La contrapartida es que no está muy claro que los reyes (o las princesas) sean productivos por lo que su identificación con nuestra variable xxx no es todo lo directa que sería deseable.
[32590] El modelo de las familias productoras 
[32600] Trataremos el "bien" conocimiento como un bien público ya que, una vez que una empresa ha aumentado sus conocimientos, todas las empresas tienen acceso a éstos.
[32610] Supongamos ahora que el número de empresas de la economía sea un número muy elevado xxx, constante.
[32620] Podemos dividir por xxx los dos miembros de la restricción dinámica (7.6), y a continuación tomar logaritmos y derivadas, para demostrar así que el stock de capital crecerá en el estado estacionario a la misma tasa que el consumo.
[32630] La razón es que las fronteras de los países se han definido históricamente a través de luchas políticas o militares o a través de enlaces matrimoniales entre personajes de sangre azul.
[32640] Técnicamente, la razón que está detrás de los efectos de escala es el supuesto de que la externalidad depende del volumen agregado de capital.
[32650] Dado que xxx, el planificador alcanza una tasa de crecimiento superior a la del mercado.
[32660] Dado que se supone que los productos de alta tecnología conducen a un mayor aprendizaje por la práctica, el efecto del libre comercio reside en el aumento del crecimiento del norte y, potencialmente, en una disminución del crecimiento del sur.
[32670] LA ACUMULACIÓN DE CAPITAL HUMANO Y EL CRECIMIENTO 
[32680] En uno de los sectores, la producción final se obtiene mediante la combinación de capital físico y humano.
[32690] La existencia de esta externalidad no es esencial para que el modelo genere crecimiento endógeno.
[32700] Es decir, la educación se produce con un único factor de producción, el capital humano.
[32710] Las dos primeras ecuaciones son las condiciones de primer orden respecto a las dos variables de control, xxx y xxx.
[32720] Es decir, las tasas de crecimiento del consumo y del capital son idénticas.
[32730] Si, una vez más, tomamos logaritmos y derivadas, obtenemos que: xxx.
[32740] Es decir, en este modelo, el sector que realmente lleva el timón de la economía es el que permite generar capital humano .
[32750] Benhabib y Perli (1993) argumentan que, si la externalidad es lo suficientemente grande, en este modelo puede darse una multiplicidad de equilibrios (para alcanzar este resultado, linealizaron el sistema alrededor del estado estacionario y buscaron parámetros para los cuales se obtuviera más de un valor propio negativo).
[32760] AL margen de este hecho, uno de los descubrimientos más interesantes es la aparición de un comportamiento asimétrico entre xxx y xxx: la tasa de crecimiento de una economía con una relación xxx baja estará por encima de la del estado estacionario.
[32770] El resto de solución no entraña especial dificultad.
[32780] Se podría considerar, de forma alternativa, que el sector educativo posee una tecnología que utiliza tanto capital físico como humano, por ejemploxxx, donde xxx y xxx son el capital físico y humano utilizados en el sector educativo respectivamente.
[32790] Introducción 
[32800] Es decir, utilizan una mayor variedad de inputs .
[32810] Se entabla pues una guerra tecnológica entre líderes y seguidores, el resultado de la cual es el progreso tecnológico.
[32820] Los productores de bienes finales 
[32830] Esto se puede apreciar suponiendo que, en cada momento del tiempo, la cantidad de dichos bienes sea la misma xxx para todo xxx (como veremos, esto es lo que ocurrirá en equilibrio).
[32840] Las condiciones de primer orden imponen la igualdad entre los productos marginales y las tasas de alquiler.
[32850] Supondremos que no existe depreciación de los bienes xxx en ningún momento del tiempo, de modo que la inversión bruta coincide con la inversión neta.
[32860] En consecuencia, la inversión en cada uno de los bienes valdrá cero xxx para todo xxx.
[32870] En este punto, es posible combinar (9.14) y (9.13) para hacer desaparecer xxx de estas expresiones, xxx que expresa una relación constante entre el tipo real de interés y los parámetros del modelo.
[32880] Las tasas de crecimiento de la producción y de xxx en estado estacionario coinciden con la tasa de crecimiento de xxx, por lo que también vienen dadas por (9.17).
[32890] Romer (1990) y Grossman y Helpman (1991, capítulo 3) suponen que la tecnología de investigación utiliza únicamente trabajo.
[32900] Este resultado es fruto de la ausencia de depreciación.